Mostre que a integral de linha de um campo vetorial constante qualquer é nula ao longo de uma circunferência de raio
e centro
ao dar uma volta completa em qualquer sentido.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- O enunciado dá um campo vetorial constante qualquer — isto é, um vetor que não depende da posição — que vou denotar por
. - O enunciado dá uma circunferência de raio
e centro . - Pede-se para mostrar que a integral de linha de
ao longo dessa circunferência, quando se dá uma volta completa (em qualquer sentido), é nula.
Informações úteis que extraio do enunciado (vou usar estas letras):
- Escreverei o campo constante como
, onde e são números reais constantes (não dependem de ). - A curva é a circunferência fechada
de centro e raio .
O que preciso provar, em termos práticos:
- Mostrar que
onde
indica a integral de linha ao longo de
fazendo uma volta completa (qualquer sentido).
Passo 2
Definição e formulação do problema em linguagem de cálculo de integrais de linha (aulas rápidas).
- A integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por , , é
Explicando:
e
são as componentes do campo;
e
são as derivadas da parametrização; o produto dentro da integral é o produto escalar
.
- No nosso caso o campo é constante, então
e para todo . Isso simplifica a fórmula para
Aqui
e
são integrais de variáveis incrementais ao longo da curva — irei parametrizar para calcular.
Passo 3
Escolher uma parametrização natural para a circunferência e escrever
e
.
- Parametrização padrão (sentido anti-horário,
de a ):
Explicando cada símbolo:
é o parâmetro que percorre a circunferência;
é o raio;
é o centro;
e
dão as coordenadas no círculo de raio
.
- Derivadas em função de
:
- Portanto os incrementos
e ao longo da curva satisfazem (quando convertidos para integrais em ):
Passo 4
Substituir na integral de linha e separar termos.
- Usando a fórmula com
e constantes:
Convertendo para a parametrização
:
- Substituindo
e :
Fatorando
:
Passo 5
Calcular as integrais trigonométricas e concluir que são nulas.
- Sabemos as integrais de seno e cosseno em um período completo:
Raciocínio rápido: seno e cosseno são funções periódicas de período
e simétricas tal que a área positiva cancela a área negativa ao longo de um período inteiro.
- Substituindo esses resultados:
Portanto a integral de linha ao longo de uma volta completa é zero.
Passo 6
Comentário sobre independência do sentido (orientação) e da posição do centro.
-
Se a volta for no sentido horário, a parametrização pode ser feita por
de a ou por trocar por etc.; isso apenas muda o sinal dos integrais individuais, mas como ambos os integrais de e sobre um período são zero, o resultado continua sendo . Ou seja, a integral é zero em qualquer sentido. -
A demonstração não usou nenhum valor específico de
, ou além de serem finitos; por isso vale para qualquer centro e qualquer raio .
Passo 7
Interpretação alternativa (intuitiva e teórica): potencial e teorema fundamental.
- Outra maneira de ver o mesmo fato: um campo vetorial constante
é gradiente de uma função linear , porque
- Para campos conservativos (isto é, gradientes), a integral de linha entre dois pontos depende só da diferença de potencial
entre esses pontos. Em uma curva fechada (mesmo ponto inicial e final), a diferença de potencial é zero, logo
Isto dá a mesma conclusão de forma conceitual: campo constante é conservativo, integral em ciclo fechado é nula.
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