Mostre que a integral de linha de um campo vetorial constante qualquer é nula ao longo de uma circunferência de raio R e centro \left(x_{0}, y_{0}\right) ao dar uma volta completa em qualquer sentido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • O enunciado dá um campo vetorial constante qualquer — isto é, um vetor que não depende da posição — que vou denotar por \mathbf{F}.
  • O enunciado dá uma circunferência de raio R e centro \left(x_{0},y_{0}\right).
  • Pede-se para mostrar que a integral de linha de \mathbf{F} ao longo dessa circunferência, quando se dá uma volta completa (em qualquer sentido), é nula.
Informações úteis que extraio do enunciado (vou usar estas letras):
  • Escreverei o campo constante como \mathbf{F}(x,y)=\bigl(A,B\bigr), onde A e B são números reais constantes (não dependem de x,y).
  • A curva é a circunferência fechada C de centro \left(x_{0},y_{0}\right) e raio R.
O que preciso provar, em termos práticos:
  • Mostrar que
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0,
onde \oint_{C} indica a integral de linha ao longo de C fazendo uma volta completa (qualquer sentido).

Passo 2

Definição e formulação do problema em linguagem de cálculo de integrais de linha (aulas rápidas).
  • A integral de linha de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\Bigl(P\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)+Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t)\Bigr)\,dt.
Explicando: P e Q são as componentes do campo; x'(t) e y'(t) são as derivadas da parametrização; o produto dentro da integral é o produto escalar \mathbf{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t).
  • No nosso caso o campo é constante, então P(x,y)=A e Q(x,y)=B para todo (x,y). Isso simplifica a fórmula para
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=A\int_{C}dx+B\int_{C}dy.
Aqui \int_{C}dx e \int_{C}dy são integrais de variáveis incrementais ao longo da curva — irei parametrizar para calcular.

Passo 3

Escolher uma parametrização natural para a circunferência e escrever dx e dy.
  • Parametrização padrão (sentido anti-horário, t de 0 a 2\pi):
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(x_{0}+R\cos t,\;y_{0}+R\sin t\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Explicando cada símbolo: t é o parâmetro que percorre a circunferência; R é o raio; (x_{0},y_{0}) é o centro; \cos t e \sin t dão as coordenadas no círculo de raio R.
  • Derivadas em função de t:
x'(t)=-R\sin t,\qquad y'(t)=R\cos t.
  • Portanto os incrementos dx e dy ao longo da curva satisfazem (quando convertidos para integrais em t):
dx = x'(t)\,dt = -R\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = R\cos t\,dt.

Passo 4

Substituir na integral de linha e separar termos.
  • Usando a fórmula com A e B constantes:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=A\int_{C}dx+B\int_{C}dy.
Convertendo para a parametrização t\in[0,2\pi]:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = A\int_{0}^{2\pi}x'(t)\,dt + B\int_{0}^{2\pi}y'(t)\,dt.
  • Substituindo x'(t) e y'(t):
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = A\int_{0}^{2\pi}\bigl(-R\sin t\bigr)\,dt + B\int_{0}^{2\pi}\bigl(R\cos t\bigr)\,dt.
Fatorando R:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -AR\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt + BR\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt.

Passo 5

Calcular as integrais trigonométricas e concluir que são nulas.
  • Sabemos as integrais de seno e cosseno em um período completo:
\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt = 0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = 0.
Raciocínio rápido: seno e cosseno são funções periódicas de período 2\pi e simétricas tal que a área positiva cancela a área negativa ao longo de um período inteiro.
  • Substituindo esses resultados:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -AR\cdot 0 + BR\cdot 0 = 0.
Portanto a integral de linha ao longo de uma volta completa é zero.

Passo 6

Comentário sobre independência do sentido (orientação) e da posição do centro.
  • Se a volta for no sentido horário, a parametrização pode ser feita por t de 0 a -2\pi ou por trocar \sin por -\sin etc.; isso apenas muda o sinal dos integrais individuais, mas como ambos os integrais de \sin e \cos sobre um período são zero, o resultado continua sendo 0. Ou seja, a integral é zero em qualquer sentido.
  • A demonstração não usou nenhum valor específico de x_{0}, y_{0} ou R além de serem finitos; por isso vale para qualquer centro e qualquer raio R>0.

Passo 7

Interpretação alternativa (intuitiva e teórica): potencial e teorema fundamental.
  • Outra maneira de ver o mesmo fato: um campo vetorial constante \mathbf{F}=(A,B) é gradiente de uma função linear \varphi(x,y)=Ax+By, porque
\nabla\varphi = \Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y}\Bigr)=(A,B)=\mathbf{F}.
  • Para campos conservativos (isto é, gradientes), a integral de linha entre dois pontos depende só da diferença de potencial \varphi entre esses pontos. Em uma curva fechada (mesmo ponto inicial e final), a diferença de potencial é zero, logo
\oint_{C}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=0.
Isto dá a mesma conclusão de forma conceitual: campo constante é conservativo, integral em ciclo fechado é nula.

Resposta

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