Escreva um conjunto completo de números quânticos ( n, l, m_{l}, m_{s} ) permitidos pela teoria quântica para cada um dos seguintes orbitais:
4 f^{12}

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva um conjunto completo de números quânticos (n,\;l,\;m_{l},\;m_{s}) permitidos pela teoria quântica para o orbital dado \;4f^{12}. Informações fornecidas pelo enunciado que vou usar sem perguntar nada:
  • O principal é \;n=4.
  • A designação f indica que o momento angular orbital é \;l=3.
  • A notação \;f^{12} indica que há 12 elétrons ocupando a subcamada \;4f.

Passo 2

O que significam os números quânticos (uma mini-aula rápida, sem pressa):
  • \;n (número quântico principal): indica o nível de energia principal. É um inteiro positivo: \;n=1,2,3,\dots. Aqui é \;n=4.
  • \;l (número quântico azimutal ou de momento orbital): assume valores \;l=0,1,\dots,n-1. Cada letra tem um nome: s(l=0),\;p(l=1),\;d(l=2),\;f(l=3). No nosso caso \;l=3.
  • \;m_{l} (projeção do momento orbital): para um dado \;l, \;m_{l} pode ser -l,\,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,\,l. Ou seja, são inteiros entre -l e +l.
  • \;m_{s} (projeção do spin do elétron): só pode assumir \;m_{s}=+\tfrac{1}{2} ou \;m_{s}=-\tfrac{1}{2}.
Vou sempre escrever esses valores em TeX (para ficar certinho).

Passo 3

Regras importantes que restringem quais conjuntos (n,l,m_{l},m_{s}) existem:
  • Princípio de exclusão de Pauli: dois elétrons não podem ter todos os quatro números quânticos iguais. Isso implica que, para cada combinação (n,l,m_{l}), só existem duas possibilidades de spin \;m_{s}, logo no máximo 2 elétrons por valor de (n,l,m_{l}).
  • Para \;l=3 (subcamada f) temos \;m_{l}=-3,-2,-1,0,1,2,3, ou seja, 2l+1=7 valores de m_{l}.
  • Cada um desses 7 valores admite 2 spins, então a capacidade total da subcamada é
2(2l+1)=2\cdot7=14.
Portanto, a subcamada \;4f comporta até 14 elétrons; aqui temos 12, ou seja, duas “vagas” (ou dois “buracos”).

Passo 4

Como os elétrons ocupam esses estados na prática (regra de Hund, explicada passo a passo):
  • Hund 1 (maximizar spin total): para minimizar energia, dentro de uma subcamada os elétrons tendem a ocupar orbitais com spins paralelos antes de se emparelharem. Isso significa que, ao começar a preencher \;4f, colocamos primeiro um elétron com \;m_{s}=+\tfrac{1}{2} em cada valor de \;m_{l} diferente (isso evita repulsão de pares).
  • Depois de colocar um em cada orbital (isso dá 7 elétrons com \;m_{s}=+\tfrac{1}{2}), os elétrons restantes começam a emparelhar nos orbitais já ocupados, com \;m_{s}=-\tfrac{1}{2}.
  • No caso de 12 elétrons: primeiro fizeram-se 7 com \;m_{s}=+\tfrac{1}{2}; sobram 12-7=5 elétrons que virão com \;m_{s}=-\tfrac{1}{2} ocupando cinco dos sete orbitais. Isso deixa 2 orbitais com apenas um elétron (não pareados), portanto 2 elétrons desemparelhados no total.
  • Observação: a escolha de quais orbitais recebem os elétrons com \;m_{s}=-\tfrac{1}{2} (ou seja, quais ficam emparelhados) pode ser organizada para maximizar também o momento orbital total (Hund 2), mas para escrever os conjuntos quânticos permitidos não precisamos fixar uma única ordem estrita — basta escolher uma distribuição compatível com Hund. Vou mostrar uma escolha concreta e válida, construída exatamente seguindo a ideia de primeiro preencher todos com spin para cima e depois emparelhar 5 deles.

Passo 5

Escolha concreta e didática da ocupação (uma configuração compatível com Hund):
  • Primeiro coloquei um elétron com \;m_{s}=+\tfrac{1}{2} em cada \;m_{l}=-3,-2,-1,0,1,2,3. Isso são 7 elétrons: um em cada orbital com spin para cima.
  • Em seguida adicionei 5 elétrons com \;m_{s}=-\tfrac{1}{2} emparelhando cinco dos orbitais (por exemplo, emparelhar nos m_{l}=-3,-2,-1,0,1). Assim esses cinco orbitais ficam com dupla ocupação (+\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2}), e os dois orbitais restantes (m_{l}=2 e m_{l}=3) ficam com apenas o elétron com +\tfrac{1}{2}.
  • Essa escolha é totalmente legítima: produz 12 elétrons distintos, respeita Pauli e é compatível com a regra de Hund (maximiza o número de spins paralelos primeiro). Não é a única representação possível, mas é uma representação padrão e simples de escrever.

Passo 6

Preparação para entregar a resposta final: vou listar, na seção de resposta, os doze conjuntos (n,l,m_{l},m_{s}) correspondentes à escolha concreta acima. Cada linha corresponderá a um elétron distinto na subcamada \;4f^{12}. Lembre-se: \;n=4 e \;l=3 para todos; o que muda são \;m_{l} e \;m_{s}.

Resposta

(4,3,-3,+\tfrac{1}{2})
(4,3,-3,-\tfrac{1}{2})
(4,3,-2,+\tfrac{1}{2})
(4,3,-2,-\tfrac{1}{2})
(4,3,-1,+\tfrac{1}{2})
(4,3,-1,-\tfrac{1}{2})
(4,3,0,+\tfrac{1}{2})
(4,3,0,-\tfrac{1}{2})
(4,3,1,+\tfrac{1}{2})
(4,3,1,-\tfrac{1}{2})
(4,3,2,+\tfrac{1}{2})
(4,3,3,+\tfrac{1}{2})

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