Calcule o comprimento de onda do fóton emitido quando um elétron passa do nível n=3 para o nível n=2 de um átomo de hidrogênio.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de onda do fóton emitido quando um elétron faz a transição do nível n=3 para o nível n=2 em um átomo de hidrogênio.
Informações dadas explícitas:
  • nível inicial: n_i = 3,
  • nível final: n_f = 2,
  • átomo: hidrogênio (logo vamos usar a constante de Rydberg apropriada para hidrogênio).

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Rydberg para o comprimento de onda das linhas espectrais do hidrogênio. A fórmula diz que a recíproca do comprimento de onda é
\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
Explicando cada coisa nessa fórmula:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros);
  • R_H é a constante de Rydberg para o átomo de hidrogênio (unidade \mathrm{m^{-1}});
  • n_i é o número quântico principal inicial;
  • n_f é o número quântico principal final.
    Essa fórmula vem do fato de que as energias dos níveis do hidrogênio seguem E_n \propto -1/n^2 e que a energia do fóton é E=h c/\lambda; a derivação completa pode ser vista como combinar E_{ph}=E_{n_i}-E_{n_f} com E=hc/\lambda.

Passo 3

Agora substituímos os valores de n_i e n_f e simplificamos a fração:
\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)=R_H\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=R_H\left(\frac{9-4}{36}\right)=R_H\cdot\frac{5}{36}.
Isolando \lambda,
\lambda=\frac{36}{5\,R_H}.

Passo 4

Para calcular numericamente precisamos do valor de R_H para o hidrogênio. O valor apropriado (inclui correção de massa reduzida do elétron) é aproximadamente
R_H = 1,0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Substituindo em \lambda=\dfrac{36}{5R_H} obtemos
\lambda=\frac{36}{5\cdot\left(1,0967758\times10^{7}\right)}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Vamos fazer a conta passo a passo sem deixar nada escondido:
5\cdot R_H = 5\cdot\left(1,0967758\times10^{7}\right)=5,483879\times10^{7}.
Portanto
\lambda=\frac{36}{5,483879\times10^{7}}\\ \mathrm{m}=6,562809\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda = 6,562809\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\times10^{9}\frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{m}}=656,2809\\ \mathrm{nm}.
Pequeno comentário de incentivo: esse comprimento de onda é a famosa linha H‑alpha da série de Balmer — é uma resposta clássica, ótima de decorar se aparecer na prova. Você está indo bem!

Resposta

656,28\\ \mathrm{nm}

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