(a) Calcule o comprimento de onda e a frequência dos limites das séries de Lyman, Balmer e Paschen do átomo de hidrogênio. (b) Para a série de linhas espectrais do hidrogênio com m=4 (série de Brackett), determine os comprimentos de onda das quatro primeiras linhas da série de Brackett.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve as séries de Lyman, Balmer, Paschen e Brackett do átomo de hidrogênio. A gente vai precisar usar a fórmula de Rydberg para calcular os comprimentos de onda e frequências dessas linhas espectrais. Vamos passo a passo para entender bem cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as séries de emissão do átomo de hidrogênio. Quando um elétron cai de um nível de energia mais alto para um nível mais baixo, ele emite luz com um comprimento de onda específico. As séries Lyman, Balmer, Paschen e Brackett correspondem a transições para diferentes níveis finais:
  • Lyman: transições para n = 1
  • Balmer: transições para n = 2
  • Paschen: transições para n = 3
  • Brackett: transições para n = 4

Passo 3

Vamos utilizar a Fórmula de Rydberg para calcular os comprimentos de onda ( lambda ):
1lambda = R ( 1nf^2 - 1ni^2 )
onde:
  • R é a constante de Rydberg ( 1,097 times 10^7 , m^-1 )
  • nf é o nível final (1 para Lyman, 2 para Balmer, 3 para Paschen)
  • ni é o nível inicial (maior que nf )

Passo 4

Parte (a): Calculando os limites das séries de Lyman, Balmer e Paschen
Os limites das séries correspondem ao caso em que ni tende ao infinito. Nesse caso, a fórmula de Rydberg simplifica para:
1lambdalimite = R ( 1nf^2 )
Vamos calcular para cada série:
  1. Série de Lyman ( nf = 1 )
1lambdalimite = R ( 11^2 ) = R
lambdalimite = 1R approx 11,097 times 10^7 approx 91,2 , nm
  1. Série de Balmer ( nf = 2 )
1lambdalimite = R ( 12^2 ) = R4
lambdalimite = 4R approx 41,097 times 10^7 approx 364,8 , nm
  1. Série de Paschen ( nf = 3 )
1lambdalimite = R ( 13^2 ) = R9
lambdalimite = 9R approx 91,097 times 10^7 approx 819,5 , nm

Passo 5

Agora, para encontrar a frequência ( f ) associada a cada comprimento de onda, usamos a relação entre frequência, velocidade da luz ( c ) e comprimento de onda:
f = clambda
onde c approx 3,00 times 10^8 , m/s .
Vamos calcular para cada limite:
  1. Lyman
f = 3,00 times 10^891,2 times 10^-9 approx 3,29 times 10^15 , Hz
  1. Balmer
f = 3,00 times 10^8364,8 times 10^-9 approx 8,22 times 10^14 , Hz
  1. Paschen
f = 3,00 times 10^8819,5 times 10^-9 approx 3,66 times 10^14 , Hz

Passo 6

Parte (b): Comprimentos de onda das quatro primeiras linhas da série de Brackett ( m = 4 )
Para a série de Brackett, o nível final é nf = 4 . As quatro primeiras linhas correspondem a ni = 5, 6, 7, 8 .
Vamos aplicar a fórmula de Rydberg para cada caso:
1lambda = R ( 14^2 - 1ni^2 )
  1. Primeira linha ( ni = 5 )
1lambda = R ( 116 - 125 ) = R ( 25 - 16400 ) = R ( 9400 )
lambda = 4009R approx 4009 times 1,097 times 10^7 approx 4,07 times 10^-5 , m = 40,7 , mum
  1. Segunda linha ( ni = 6 )
1lambda = R ( 116 - 136 ) = R ( 36 - 16576 ) = R ( 20576 )
lambda = 57620R approx 57620 times 1,097 times 10^7 approx 2,63 times 10^-5 , m = 26,3 , mum
  1. Terceira linha ( ni = 7 )
1lambda = R ( 116 - 149 ) = R ( 49 - 16784 ) = R ( 33784 )
lambda = 78433R approx 78433 times 1,097 times 10^7 approx 2,16 times 10^-5 , m = 21,6 , mum
  1. Quarta linha ( ni = 8 )
1lambda = R ( 116 - 164 ) = R ( 64 - 161024 ) = R ( 481024 )
lambda = 102448R approx 102448 times 1,097 times 10^7 approx 1,94 times 10^-5 , m = 19,4 , mum

Resposta

(a) Os limites das séries são:
  • Lyman: lambda approx 91,2 , nm , f approx 3,29 times 10^15 , Hz
  • Balmer: lambda approx 364,8 , nm , f approx 8,22 times 10^14 , Hz
  • Paschen: lambda approx 819,5 , nm , f approx 3,66 times 10^14 , Hz
(b) Os comprimentos de onda das quatro primeiras linhas da série de Brackett são:
  1. lambda approx 40,7 , mum
  2. lambda approx 26,3 , mum
  3. lambda approx 21,6 , mum
  4. lambda approx 19,4 , mum

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