Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso envolve saber sobre séries de potências, usar o teste da razão para achar o raio e depois verificar o comportamento nos pontos finais.
Passo 2
Aplique o teste da razão à sequência de termos . Calculamos
Para convergir, precisamos dessa razão menor que 1, ou seja |x+2|<2.
Passo 3
Da condição |x+2|<2 segue que o raio de convergência é R=2 e o intervalo aberto associado é -4.
Passo 4
Agora analisamos os extremos. Primeiro, em x=-4 temos x+2=-2 e o termo geral vira
(-2)^n2^nln n=(-1)^nln n
Como 1/ln n é decrescente para n>=2 e tende a zero, a série alternada converge (teste de Leibniz).
Passo 5
Em x=0 temos x+2=2 e o termo geral é
2^n2^nln n=1ln n
A série sum1/ln n diverge, por exemplo, usando o teste da condensação de Cauchy (ou comparando com sum2^k/k). Portanto diverge neste ponto.
Passo 6
Juntando tudo, a série converge para -4<= x<0 e diverge em x=0.
Resposta
Raio de convergência: R=2. Intervalo de convergência: [-4,0).