Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=2^infty (x+2)^n2^n ln n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=2^infty (x+2)^n2^nln n. Isso envolve saber sobre séries de potências, usar o teste da razão para achar o raio e depois verificar o comportamento nos pontos finais.

Passo 2

Aplique o teste da razão à sequência de termos an = (x+2)^n2^nln n. Calculamos
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x+2|2,ln nln(n+1) = |x+2|2
Para convergir, precisamos dessa razão menor que 1, ou seja |x+2|<2.

Passo 3

Da condição |x+2|<2 segue que o raio de convergência é R=2 e o intervalo aberto associado é -4.

Passo 4

Agora analisamos os extremos. Primeiro, em x=-4 temos x+2=-2 e o termo geral vira
(-2)^n2^nln n=(-1)^nln n
Como 1/ln n é decrescente para n>=2 e tende a zero, a série alternada converge (teste de Leibniz).

Passo 5

Em x=0 temos x+2=2 e o termo geral é
2^n2^nln n=1ln n
A série sum1/ln n diverge, por exemplo, usando o teste da condensação de Cauchy (ou comparando com sum2^k/k). Portanto diverge neste ponto.

Passo 6

Juntando tudo, a série converge para -4<= x<0 e diverge em x=0.

Resposta

Raio de convergência: R=2. Intervalo de convergência: [-4,0).

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