Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime prime prime(x)=cos x, f(0)=1, f^prime(0)=2, f^prime prime(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a derivada de terceira ordem
f'''(x)=cos x
e as condições iniciais
;f(0)=1,;f'(0)=2,;f''(0)=3
O conteúdo é integração sucessiva para recuperar f(x) e depois ajuste de constantes usando as condições dadas.

Passo 2

Integramos f'''(x)=cos x para obter f''(x). Como
integral cos x,dx = sin x,
introduzimos uma constante C1:
f''(x)=sin x + C1

Passo 3

Integramos f''(x)=sin x + C1 para obter f'(x). Como
integral sin x,dx = -cos x
e integral C1,dx = C1 x, com constante C2, temos
f'(x) = -cos x + C1,x + C2

Passo 4

Integramos f'(x)=-cos x + C1 x + C2 para obter f(x). Usando
integral -cos x,dx = -sin x,;integral C1 x,dx = tfracC12x^2,;integral C2,dx = C2 x,
e adicionando constante C3, resulta
f(x) = -sin x + C12,x^2 + C2,x + C3

Passo 5

Usamos as condições iniciais para determinar C1,C2,C3:
  1. f(0)=1
-sin0+tfracC12cdot0^2 + C2cdot0 + C3 = C3 = 1
  1. f'(0)=2 em f'(x)=-cos x + C1 x + C2
-cos0 + C1cdot0 + C2 = -1 + C2 = 2 ;Longrightarrow;C2=3
  1. f''(0)=3 em f''(x)=sin x + C1
sin0 + C1 = C1 = 3

Passo 6

Substituindo C1=3, C2=3, C3=1 em f(x) obtemos
f(x) = -sin x + 32,x^2 + 3x + 1
Derivando três vezes confirmamos
f'(x)=-cos x+3x+3, f''(x)=sin x+3, f'''(x)=cos x,
caso verificado com o enunciado.

Resposta

f(x) = -sin x + 32,x^2 + 3x + 1

Exercícios relacionados