Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime prime(x)=x^-2, x>0, f(1)=0, f(2)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva mais geral de f''(x)=x^-2 para x>0, usando as condições f(1)=0 e f(2)=0. Vamos precisar integrar duas vezes (antiderivadas sucessivas) e depois aplicar as condições de contorno para determinar as constantes.

Passo 2

Integramos primeiro f''(x)=x^-2. Usando a regra integral x^n,dx= x^n+1/(n+1) para nneq -1, temos
f'(x)=integral x^-2,dx=-1x+C1

Passo 3

Agora integramos f'(x)=-tfrac1x+C1. Sabendo que integral-tfrac1x,dx=-ln x e integral C1,dx=C1x, obtemos
f(x)=-ln x + C1x + C2

Passo 4

Aplicamos as condições: para x=1,
f(1)=-ln1 + C1cdot1 + C2=C1 + C2=0implies C2=-C1;
e para x=2,
f(2)=-ln2 + 2C1 + C2=-ln2 +2C1 - C1=-ln2 + C1=0implies C1=ln2,;C2=-ln2

Passo 5

Verificamos derivando: a partir de f(x)=-ln x + (ln2)x -ln2 obtemos


confirmando a condição inicial.

Resposta

Para x>0, a primitiva que satisfaz as condições é f(x)=-ln x + (ln2),x - ln2.

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