Quando uma radiação de 58,4 \mathrm{~nm} de uma lâmpada de descarga de hélio é direcionada para uma amostra de criptônio, elétrons são expulsos com uma velocidade de 1,59 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. A mesma radiação expulsa elétrons de átomos de Rb com uma velocidade de 2,45 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Quais são as energias de ionização (em elétron-volt, eV) dos dois elementos?

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Radiação com comprimento de onda \lambda = 58,4\\ \mathrm{nm}.
  • Elétrons expulsos de criptônio com velocidade v_{\mathrm{Kr}} = 1,59\times10^{6}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Elétrons expulsos de rubídio com velocidade v_{\mathrm{Rb}} = 2,45\times10^{6}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular as energias de ionização (em elétron-volt, \mathrm{eV}) dos dois elementos: criptônio e rubídio, usando a radiação e as velocidades fornecidas.

Passo 2

Conceito físico e fórmulas que vamos usar (passo a passo e explicado):
  1. Um fóton de comprimento de onda \lambda tem energia dada por
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda},ó
onde:
  • h é a constante de Planck ( h tem unidade \mathrm{J\\ s}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c tem unidade \mathrm{m\\ s^{-1}}),
  • \lambda deve estar em metros para a consistência das unidades.
  1. Quando um elétron é arrancado por esse fóton (efeito fotoelétrico/fotoionização), a energia do fóton é gasta em duas partes: a energia de ionização (trabalho de retirada do elétron), que chamamos \Phi (em joules ou \mathrm{eV}), e a energia cinética \mathrm{KE} do elétron emitido:
E_{\text{fóton}} = \Phi + \mathrm{KE}.ó
  1. A energia cinética do elétron liberado (assumindo velocidade não-relativística, válida aqui) é
\mathrm{KE} = \tfrac{1}{2} m_e v^2,
onde:
  • m_e é a massa do elétron,
  • v é a velocidade do elétron fornecida.
  1. Para achar \Phi (energia de ionização) isolamos:
\Phi = E_{\text{fóton}} - \mathrm{KE}.ó
  1. Conversão de unidades: 1 eletrón-volt corresponde a 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Para obter \Phi em \mathrm{eV}, calculamos \Phi em joules e dividimos por esse fator.
Constantes que usarei (valores numéricos, todos expressos em notação científica):
  • h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s},
  • c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}},
  • m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
  • 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Calcular a energia do fóton E_{\text{fóton}}ó.
Primeiro converto \lambda para metros:
\lambda = 58,4\\ \mathrm{nm} = 58,4\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5,84\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Agora uso \;E_{\text{fóton}} = \dfrac{hc}{\lambda}\;ó:
E_{\text{fóton}} = \frac{(6,62607015\times10^{-34})(2,99792458\times10^{8})}{5,84\times10^{-8}}\\ \mathrm{J}.ó
Faço a conta:
hc = 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m},
E_{\text{fóton}} = \frac{1,98644586\times10^{-25}}{5,84\times10^{-8}} = 3,4023\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.ó
Passando para \mathrm{eV}:
E_{\text{fóton}} = \frac{3,4023\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}} = 21,23\\ \mathrm{eV}.ó
(Interpretação rápida: fótons de \lambda = 58,4\\ \mathrm{nm} têm energia aproximadamente 21,23\\ \mathrm{eV}.)

Passo 4

Calcular a energia cinética dos elétrons do criptônio.
Usando \mathrm{KE} = \tfrac{1}{2} m_e v^2 com v_{\mathrm{Kr}} = 1,59\times10^{6}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}:
\mathrm{KE}_{\mathrm{Kr}} = \tfrac{1}{2}\,(9,10938356\times10^{-31})\,(1,59\times10^{6})^{2}\\ \mathrm{J}.
Faço a conta:
(1,59\times10^{6})^{2} = 2,5281\times10^{12},
\mathrm{KE}_{\mathrm{Kr}} = \tfrac{1}{2}\times9,10938356\times10^{-31}\times2,5281\times10^{12} = 1,1514\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para \mathrm{eV}:
\mathrm{KE}_{\mathrm{Kr}} = \frac{1,1514\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}} = 7,184\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Calcular a energia cinética dos elétrons do rubídio.
Usando v_{\mathrm{Rb}} = 2,45\times10^{6}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}:
\mathrm{KE}_{\mathrm{Rb}} = \tfrac{1}{2}\,(9,10938356\times10^{-31})\,(2,45\times10^{6})^{2}\\ \mathrm{J}.
Faço a conta:
(2,45\times10^{6})^{2} = 6,0025\times10^{12},
\mathrm{KE}_{\mathrm{Rb}} = \tfrac{1}{2}\times9,10938356\times10^{-31}\times6,0025\times10^{12} = 2,73395\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para \mathrm{eV}:
\mathrm{KE}_{\mathrm{Rb}} = \frac{2,73395\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}} = 17,06\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Calcular as energias de ionização \Phi para ambos os elementos usando \Phi = E_{\text{fóton}} - \mathrm{KE}ó.
Para criptônio:
\Phi_{\mathrm{Kr}} = 21,23\\ \mathrm{eV} - 7,184\\ \mathrm{eV} = 14,05\\ \mathrm{eV}.
Para rubídio:
\Phi_{\mathrm{Rb}} = 21,23\\ \mathrm{eV} - 17,06\\ \mathrm{eV} = 4,17\\ \mathrm{eV}.
(Arredondei os resultados finais de acordo com as cifras significativas dos dados iniciais.)

Passo 7

Cheque rápido e motivação: os valores obtidos são compatíveis com os valores tabulados aproximados de energia de ionização (ordem de grandeza e casas decimais batem: \mathrm{Kr}\sim14{,}0\\ \mathrm{eV}, \mathrm{Rb}\sim4{,}2\\ \mathrm{eV}). Boa! Você já consegue aplicar esse método na prova: calcular E_{\text{fóton}}=\dfrac{hc}{\lambda}ó, calcular \mathrm{KE}=\tfrac12 m_e v^2, e subtrair para achar \Phi. Vai dar certo — respira fundo e repete alguns exercícios assim que puder!

Resposta

Criptônio: 14,05\\ \mathrm{eV}
Rubídio: 4,17\\ \mathrm{eV}

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