Calcule o comprimento de um segmento do interior de um diedro reto com e nas faces, sabendo que as projeções ortogonais e desse segmento sobre as faces medem respectivamente 21 cm e 25 cm e que . (Resposta =29 cm ).
Passo 1
O enunciado: segmento AB está no interior de um diedro reto com A sobre uma face α e B sobre a outra face β. As projeções ortogonais de B em α e de A em β geram os pontos D e C, e medem-se AD = 21 cm, BC = 25 cm e CD = 15 cm. O conteúdo aqui é diedros retos e projeções ortogonais; vamos usar geometria analítica e um sistema de coordenadas para decompor o segmento em componentes perpendiculares às faces e paralelas à aresta.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas ortonormal em que a face α seja o plano xy (z = 0) e a face β seja o plano xz (y = 0). Assim temos
A = (x_A, y_A, 0), B = (x_B, 0, z_B), D = (x_B, 0, 0) e C = (x_A, 0, 0).
Passo 3
Como C e D estão ambos no eixo x, a distância entre eles é
[ CD = |x_B - x_A| = 15 \implies (x_B - x_A)^2 = 225. ]
Passo 4
Para a projeção BC = 25, no triângulo B C temos
[ BC^2 = (x_B - x_A)^2 + z_B^2 = 625 \implies z_B^2 = 625 - 225 = 400 \implies z_B = 20. ]
Passo 5
Para a projeção AD = 21, no triângulo A D temos
[ AD^2 = (x_A - x_B)^2 + y_A^2 = 441 \implies y_A^2 = 441 - 225 = 216 \implies y_A = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}. ]
Passo 6
Finalmente, o comprimento AB é dado por
[ AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (0 - y_A)^2 + (z_B - 0)^2 = 225 + 216 + 400 = 841 \implies AB = 29. ]