Considere o anel Z[raiz2].
a. Mostre que raiz2 e 1+2 raiz2 são elementos irredutíveis.
b. Dê exemplo de um elemento inversível alpha, alpha neq pm 1.
c. Mostre que se alpha é inversível então alpha^n também é inversível.
d. Conclua que em Z[raiz2] existem infinitos elementos inversíveis.

Passo 1

Estamos trabalhando no anel de inteiros algébricos , Z[raiz2], cujo conteúdo é: testar irredutibilidade e encontrar unidades. Vamos precisar da norma multiplicativa N(a+braiz2)=a^2-2b^2, que serve para detectar irredutíveis (norma de valor absoluto primo) e unidades (norma ±1).

Passo 2

Definimos a norma de um elemento genérico alpha=a+braiz2 por
N(alpha)=a^2-2b^2
Essa norma satisfaz
N(alphabeta)=N(alpha),N(beta),
é inteira e detecta unidades: alpha é inversível se e somente se N(alpha)=pm1.

Passo 3

Para mostrar que raiz2 é irredutível, observamos que
N(raiz2)=0^2-2cdot1^2=-2,
o que dá |N(raiz2)|=2, primo em Z. Se raiz2=betagamma, então
2=|N(raiz2)|=|N(beta)|,|N(gamma)|
Como 2 é primo, um dos fatores de norma tem valor absoluto 1, logo é unidade. Assim, raiz2 não se decompõe não-trivialmente, sendo irredutível.

Passo 4

Para 1+2raiz2, calculamos
N(1+2raiz2)=1^2-2cdot2^2=1-8=-7,
o que dá |N(1+2raiz2)|=7, também primo. Pelo mesmo argumento de norma, qualquer fator não-trivial teria norma ±1 ou ±7. Se fosse ±1 seria unidade; se fosse ±7 seria associado a 1+2raiz2. Logo não há fatoração não-trivial, e 1+2raiz2 é irredutível.

Passo 5

Um exemplo de elemento inversível distinto de pm1 é
alpha=1+raiz2
De fato,
$$
N(1+\sqrt{2})=1-2=-1,
N(1+raiz2)=1-2=-1,
\alpha^{-1}=1-\sqrt{2}.
$$

Passo 6

Se alpha é inversível, existe beta tal que alphabeta=1. Elevando ambos os lados a n-ésima potência,
(alphabeta)^n=alpha^n,beta^n=1,
o que mostra que alpha^n é inversível, com inverso beta^n.

Passo 7

Como 1+raiz2 é unidade não-trivial, todos os seus poderes (1+raiz2)^n também são unidades diferentes (expansão pelo binômio dá coeficientes distintos para cada n). Logo existem infinitos elementos inversíveis em Z[raiz2].

Resposta

a. raiz2 e 1+2raiz2 são irredutíveis pois têm norma de valor absoluto primo (2 e 7). b. Um exemplo de unidade não trivial é 1+raiz2, pois N(1+raiz2)=-1. c. Se alpha é inversível, então alpha^n é inversível pois (alpha^-1)^n é seu inverso. d. Portanto, como (1+raiz2)^n gera infinitas unidades distintas, há infinitos inversíveis em Z[raiz2].

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