Considere o anel
.
a. Mostre que
e
são elementos irredutíveis.
b. Dê exemplo de um elemento inversível
.
c. Mostre que se
é inversível então
também é inversível.
d. Conclua que em
existem infinitos elementos inversíveis.
a. Mostre que
b. Dê exemplo de um elemento inversível
c. Mostre que se
d. Conclua que em
Passo 1
Estamos trabalhando no anel de inteiros algébricos ,
, cujo conteúdo é: testar irredutibilidade e encontrar unidades. Vamos precisar da norma multiplicativa
, que serve para detectar irredutíveis (norma de valor absoluto primo) e unidades (norma ±1).
Passo 2
Definimos a norma de um elemento genérico
por
Essa norma satisfaz
é inteira e detecta unidades:
é inversível se e somente se
.
Passo 3
Para mostrar que
é irredutível, observamos que
o que dá
, primo em
. Se
, então
Como 2 é primo, um dos fatores de norma tem valor absoluto 1, logo é unidade. Assim,
não se decompõe não-trivialmente, sendo irredutível.
Passo 4
Para
, calculamos
o que dá
, também primo. Pelo mesmo argumento de norma, qualquer fator não-trivial teria norma ±1 ou ±7. Se fosse ±1 seria unidade; se fosse ±7 seria associado a
. Logo não há fatoração não-trivial, e
é irredutível.
Passo 5
Um exemplo de elemento inversível distinto de
é
De fato,
$$
N(1+\sqrt{2})=1-2=-1,
\alpha^{-1}=1-\sqrt{2}.
$$
Passo 6
Se
é inversível, existe
tal que
. Elevando ambos os lados a
-ésima potência,
o que mostra que
é inversível, com inverso
.
Passo 7
Como
é unidade não-trivial, todos os seus poderes
também são unidades diferentes (expansão pelo binômio dá coeficientes distintos para cada
). Logo existem infinitos elementos inversíveis em
.
Resposta
a.
e
são irredutíveis pois têm norma de valor absoluto primo (2 e 7). b. Um exemplo de unidade não trivial é
, pois
. c. Se
é inversível, então
é inversível pois
é seu inverso. d. Portanto, como
gera infinitas unidades distintas, há infinitos inversíveis em
.