Um segmento de 75 cm tem as extremidades nas faces de um diedro reto. Sendo e as respectivas projeções de sobre as faces do diedro e e B D=55 cm, calcule a medida do segmento C D.
Passo 1
Temos um segmento AB de comprimento 75 cm num diedro reto. O ponto A está sobre uma face do diedro e B sobre a outra. Suas projeções sobre as faces são AD e BC, e sabemos AC=50 cm e BD=55 cm. O objetivo é calcular CD. Vamos usar conceitos de projeções ortogonais em planos perpendiculares e um modelo de coordenadas.
Passo 2
Pra facilitar, a gente monta um sistema de coordenadas onde uma face do diedro é o plano xy e a outra é o plano xz. Assim A fica em (x1,y1,0) e B em (x2,0,z2). Como C é a projeção ortogonal de A no plano xz, temos C=(x1,0,0) e daí AC=|y1|=50. Do mesmo jeito D é projeção de B no plano xy, então D=(x2,0,0) e BD=|z2|=55.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da distância no espaço pra AB=75 cm. A distância entre (x1,y1,0) e (x2,0,z2) é dada por
AB^2=(x1-x2)^2+y1^2+z2^2
Substituindo AB=75, y1=50 e z2=55 obtemos: (x1-x2)^2+50^2+55^2=75^2
Passo 4
Como 50^2+55^2=5525 e 75^2=5625, surge
(x1-x2)^2=5625-5525=100
Passo 5
Finalmente, |x1-x2|=raiz100=10. Mas |x1-x2| é exatamente o comprimento de CD, pois C=(x1,0,0) e D=(x2,0,0). Portanto CD=10 cm.