Escreva 70 como produto de elementos irredutíveis em Z[i].

Passo 1

O enunciado pede para escrever 70 como produto de elementos irreduzíveis no anel dos inteiros de Gauss Z[i]. Vamos usar conceitos de norma e critério de fatoração de primos racionais em Z[i].

Passo 2

Em Z[i] definimos a norma de z=a+bi como N(z)=a^2+b^2. Sabemos que: primos racionais pequiv3pmod4 permanecem irreduzíveis em Z[i]; primos pequiv1pmod4 se decompõem como p=alphaalpha; e 2 se ramifica via 1+i.

Passo 3

Vamos fatorar 2. Como N(1+i)=1^2+1^2=2, o elemento 1+i é irreduzível e gera a ramificação de 2. De fato, usando unidades, temos
2=-i,(1+i)^2

Passo 4

Agora fatoramos 5. Buscamos inteiros a,b com a^2+b^2=5. A solução não trivial é 2^2+1^2=5. Logo,
5=(2+i)(2-i),
sendo 2+i e 2-i irreduzíveis em Z[i].

Passo 5

O primo 7 satisfaz 7equiv3pmod4, então permanece irreduzível em Z[i].

Passo 6

Juntando tudo, escrevemos
70=2cdot5cdot7=-i,(1+i)^2cdot(2+i)cdot(2-i)cdot7
Isso completa a decomposição de 70 em fatores irreduzíveis em Z[i].

Resposta

-icdot(1+i)^2cdot(2+i)cdot(2-i)cdot7

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