Escreva 70 como produto de elementos irredutíveis em .
Passo 1
O enunciado pede para escrever 70 como produto de elementos irreduzíveis no anel dos inteiros de Gauss . Vamos usar conceitos de norma e critério de fatoração de primos racionais em .
Passo 2
Em definimos a norma de como . Sabemos que: primos racionais permanecem irreduzíveis em ; primos se decompõem como ; e 2 se ramifica via 1+i.
Passo 3
Vamos fatorar 2. Como N(1+i)=1^2+1^2=2, o elemento 1+i é irreduzível e gera a ramificação de 2. De fato, usando unidades, temos
2=-i,(1+i)^2
Passo 4
Agora fatoramos 5. Buscamos inteiros a,b com a^2+b^2=5. A solução não trivial é 2^2+1^2=5. Logo,
5=(2+i)(2-i),
sendo 2+i e 2-i irreduzíveis em Z[i].
Passo 5
O primo 7 satisfaz 7equiv3pmod4, então permanece irreduzível em Z[i].
Passo 6
Juntando tudo, escrevemos
70=2cdot5cdot7=-i,(1+i)^2cdot(2+i)cdot(2-i)cdot7
Isso completa a decomposição de 70 em fatores irreduzíveis em Z[i].