Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
r=2 sec theta, 0 <= theta <= pi3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva em coordenadas polares dada por
r = 2sectheta, 0 <= theta <= pi3
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
L = integralalpha^beta raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares com alpha=0 e beta=tfracpi3:
L = integral0^pi3 raizr^2 + l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 3

Calculamos a derivada de r em relação a theta. Como r(theta)=2sectheta, temos
drdtheta = 2secthetatantheta

Passo 4

Montamos o integrando e simplificamos:
raizr^2 + l(r'(theta)r)^2 = raiz(2sectheta)^2 + l(2secthetatanthetar)^2 = raiz4sec^2theta + 4sec^2thetatan^2theta = 2raizsec^2theta,(1+tan^2theta) = 2sec^2theta,
pois em [0,tfracpi3] temos sectheta>=0 e 1+tan^2theta=sec^2theta.

Passo 5

Substituindo no integral, obtemos
L = integral0^pi3 2sec^2theta,dtheta = 2integral0^pi3 sec^2theta,dtheta

Passo 6

Sabendo que ddtheta(tantheta)=sec^2theta, temos
L = 2l[tanthetar]0^pi3 = 2l(tan!tfracpi3 - tan0r) = 2l(raiz3 - 0r) = 2raiz3

Resposta

O comprimento da curva é 2raiz3.

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