Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
r=3 cos theta, 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de uma curva em coordenadas polares dada por r=3 cos θ no intervalo 0≤θ≤π/2. O conteúdo é cálculo de comprimento de arco em forma polar, e vamos precisar da fórmula que envolve r(θ) e sua derivada.

Passo 2

Para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares usamos a fórmula:
L = integralalpha^beta raizr(theta)^2 + l(tfracdrdthetar)^2,dtheta
Derivando r em relação a θ: r=3 cos θ implica
drdtheta = -3sintheta
Substituindo na raiz temos
r^2 + l(drdthetar)^2 = 9cos^2theta + 9sin^2theta = 9,
portanto o integrando fica √9=3.

Passo 3

Agora é só integrar de 0 a π/2:
L = integral0^pi/2 3,dtheta = 3l[thetar]0^pi/2 = 3pi2

Resposta

tfrac3pi2

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