Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
12xy = 4x^4 + 3 ; (1, 7/12) e (3, 109/12)

Passo 1

Então, vamos calcular o comprimento do arco da curva definida por entre os pontos e . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de arco de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação da curva para ter em função de . Dividindo ambos os lados por :
Agora temos .

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco envolve a derivada da função.

Passo 4

A fórmula do comprimento do arco de até é dada por:
Vamos calcular :
Então:

Passo 5

Percebemos que a expressão sob a raiz pode ser escrita como um quadrado perfeito:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando :
E integrando :
Então, a integral completa fica:

Passo 8

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 1 a 3:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre os pontos dados é unidades, aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados