Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
e
Passo 1
Então, vamos calcular o comprimento do arco da curva definida por
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de arco de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação da curva para ter
em função de
. Dividindo ambos os lados por
:
Agora temos
.
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco envolve a derivada da função.
Passo 4
A fórmula do comprimento do arco
de
até
é dada por:
Vamos calcular
:
Então:
Passo 5
Percebemos que a expressão sob a raiz pode ser escrita como um quadrado perfeito:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando
:
E integrando
:
Então, a integral completa fica:
Passo 8
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 1 a 3:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre os pontos dados é
unidades, aproximadamente
unidades.