Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = 1/3 (x^2 + 2)^(3/2) ; (x, y) tal que 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de cálculo de comprimento de arco. A gente vai trabalhar com a equação da curva no intervalo de até . Para isso, precisamos usar a fórmula de comprimento de arco, que nos ajuda a encontrar a “distância” percorrida ao longo de uma curva entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e . A fórmula é:
Isso significa que precisamos derivar em relação a , elevar ao quadrado, somar 1 e então calcular a integral disso no intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada a função:
Aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 6

Então, a integral fica:
A raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto, mas como é sempre positivo, podemos simplificar diretamente.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:

Passo 8

Somando os resultados:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre e é unidades.

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