Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
tal que
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de cálculo de comprimento de arco. A gente vai trabalhar com a equação da curva
no intervalo de
até
. Para isso, precisamos usar a fórmula de comprimento de arco, que nos ajuda a encontrar a “distância” percorrida ao longo de uma curva entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
entre
e
. A fórmula é:
Isso significa que precisamos derivar
em relação a
, elevar ao quadrado, somar 1 e então calcular a integral disso no intervalo dado.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a função:
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Então, a integral fica:
A raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto, mas como
é sempre positivo, podemos simplificar diretamente.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Passo 8
Somando os resultados:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre
e
é
unidades.