Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos usar o método das equações características para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso, a equação vai ficar:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
Simplificando:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui,
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Agora, vamos derivar
para usar a segunda condição:
Aplicando
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: