Resolva o problema de valor inicial.
y'' - 6y' - 10y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:

com as condições iniciais:

Vamos usar o método das equações características para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:

a equação característica é:
No nosso caso, a equação vai ficar:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:

Aqui, , , e . Substituindo:

Simplificando:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Agora, vamos derivar para usar a segunda condição:

Aplicando :
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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