Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, do ponto
até
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva
entre os pontos
e
. Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de cálculo de comprimentos de arco. Precisamos entender como aplicar a fórmula de comprimento de arco para curvas definidas por funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
. Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas partes do arco para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o quadrado da derivada
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
e
. Substituindo na integral:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos resolver essa integral usando uma substituição. Seja
, então
ou
. Os limites de integração mudam para quando
,
e quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites:
Calculando
e
:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva
entre os pontos
e
é aproximadamente 1,440 unidades.