Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = raiz(cubica(x^2)), do ponto (0,0) até 1,1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva entre os pontos e . Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de cálculo de comprimentos de arco. Precisamos entender como aplicar a fórmula de comprimento de arco para curvas definidas por funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre dois pontos e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a . Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas partes do arco para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, precisamos encontrar a derivada .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o quadrado da derivada :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja , então e . Substituindo na integral:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos resolver essa integral usando uma substituição. Seja , então ou . Os limites de integração mudam para quando , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 10

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites:
Calculando e :
Então:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre os pontos e é aproximadamente 1,440 unidades.

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