Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
e
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo dos
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar e entender as curvas que delimitam a região:
-
: Essa é uma função que depende de e descreve uma curva que se aproxima de conforme aumenta. -
: Esta é uma linha vertical que corta o eixo no ponto . -
: Este é o eixo . -
: Esta é uma linha horizontal que corta o eixo no ponto .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Precisamos encontrar os valores de
que correspondem a
na equação
:
Resolvendo para
:
Então, os limites de
são de
a
.
Passo 4
Para usar o método dos discos, precisamos expressar
em função de
. A partir da equação
:
Então, a função
é
.
Passo 5
O volume
do sólido de revolução pode ser calculado usando a fórmula dos discos:
Onde
e
. Substituindo
:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, então
. Quando
,
e quando
,
.
A integral fica:
Integrando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.