Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:
y = 1 - 1/x^4, x = 1, y = 0 e y = 15/16

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo dos . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar e entender as curvas que delimitam a região:
  • : Essa é uma função que depende de e descreve uma curva que se aproxima de conforme aumenta.
  • : Esta é uma linha vertical que corta o eixo no ponto .
  • : Este é o eixo .
  • : Esta é uma linha horizontal que corta o eixo no ponto .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Precisamos encontrar os valores de que correspondem a na equação :
Resolvendo para :
Então, os limites de são de a .

Passo 4

Para usar o método dos discos, precisamos expressar em função de . A partir da equação :
Então, a função é .

Passo 5

O volume do sólido de revolução pode ser calculado usando a fórmula dos discos:
Onde e . Substituindo :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , então . Quando , e quando , .
A integral fica:
Integrando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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