Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = 1/6 (x^3 + 3/x) ; (1, 2/3) e (3, 14/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva entre os pontos e . Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado comprimento de arco, que é basicamente a distância ao longo da curva entre dois pontos. Vamos precisar da fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e . A fórmula é:
Ou seja, a gente integra a raiz quadrada de mais o quadrado da derivada de em relação a , de até .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A função é:
Vamos derivar termo a termo:

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, a integral fica:
Vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observando , podemos reconhecer que:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 8

Multiplicando pelo :

Resposta

O comprimento do arco da curva entre os pontos dados é unidades.

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