Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado comprimento de arco, que é basicamente a distância ao longo da curva entre dois pontos. Vamos precisar da fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
entre
e
. A fórmula é:
Ou seja, a gente integra a raiz quadrada de
mais o quadrado da derivada de
em relação a
, de
até
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observando
, podemos reconhecer que:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre os pontos dados é
unidades.