Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:
9 x^2 + 16 y^2 = 144

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos determinar o volume de um sólido de revolução. A região que vamos girar em torno do eixo dos é limitada pela curva . Para isso, vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da curva para facilitar o cálculo. A equação dada é . Podemos dividi-la por 144 para deixar na forma padrão de uma elipse:
Isso nos mostra que a elipse tem semieixos de 4 unidades no eixo e 3 unidades no eixo .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo , precisamos expressar em termos de . Vamos isolar na equação da elipse:
Multiplicando ambos os lados por 16:

Passo 4

Para encontrar o volume do sólido de revolução, usaremos o método dos discos. A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Aqui, e os limites de integração são de a , que são os pontos onde a elipse cruza o eixo .
Porém, como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos calcular de a e multiplicar por 2:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar:
Calculando cada integral separadamente:
Substituindo de volta:

Passo 6

Multiplicando pelo fator fora da integral:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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