Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:
y = raiz(4 - x^2), x = 0 e x = 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui! A questão quer que a gente encontre o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo dos . A região está limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva pode ser reescrita como , ou seja, . Isso nos mostra que para cada valor de , o valor de varia de 0 a . Nosso intervalo de vai de 0 a 1, então precisamos encontrar os limites correspondentes de .

Passo 3

Vamos encontrar os limites de quando e :
  • Para :
  • Para :
Então, varia de a .

Passo 4

Usando o método dos discos, o volume é dado por:
onde é o raio do disco em função de . Neste caso, .

Passo 5

Agora, substituímos na integral:
Vamos integrar essa expressão.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de a :

Passo 7

Calculando os limites:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:
Você pode calcular esses valores numéricos para obter uma aproximação do volume.

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