Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui! A questão quer que a gente encontre o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo dos
. A região está limitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
pode ser reescrita como
, ou seja,
. Isso nos mostra que para cada valor de
, o valor de
varia de 0 a
. Nosso intervalo de
vai de 0 a 1, então precisamos encontrar os limites correspondentes de
.
Passo 3
Vamos encontrar os limites de
quando
e
:
- Para
: - Para
:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Usando o método dos discos, o volume
é dado por:
onde
é o raio do disco em função de
. Neste caso,
.
Passo 5
Agora, substituímos
na integral:
Vamos integrar essa expressão.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 7
Calculando os limites:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é:
Você pode calcular esses valores numéricos para obter uma aproximação do volume.