Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, de
até
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial. O que vamos precisar é derivar a função, aplicar a fórmula de comprimento de arco e calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é
Então, a derivada
é:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco:
Substituindo
na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, a integral para o comprimento do arco é:
Essa integral pode ser complicada de resolver exatamente, então podemos usar métodos numéricos ou aproximados para calcular o valor aproximado.
Passo 6
Usando uma calculadora ou software de cálculo, avaliamos a integral:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre
e
é aproximadamente 5,128 unidades.