Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = (2/3) x^(3/2) - (raiz(x)/2), de x = 1 até x = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva no intervalo de até . Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial. O que vamos precisar é derivar a função, aplicar a fórmula de comprimento de arco e calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 5

Agora, a integral para o comprimento do arco é:
Essa integral pode ser complicada de resolver exatamente, então podemos usar métodos numéricos ou aproximados para calcular o valor aproximado.

Passo 6

Usando uma calculadora ou software de cálculo, avaliamos a integral:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre e é aproximadamente 5,128 unidades.

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