Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = raiz(x^3), do ponto (0,0) até 1,1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para calcular o comprimento de arco da curva entre os pontos e . Para isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva entre e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a , que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Podemos reescrever essa função como . Aplicando a regra da potência para derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Calculando o que está dentro da raiz:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Vamos resolver a integral . Fazendo uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Quando , .
Quando , .
A integral fica:

Passo 8

Voltando para a variável original:
Agora, aplicando os limites de integração de 4 a 13:
Sabemos que e .
Então:

Passo 9

Multiplicando pela constante que está fora da integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva entre os pontos e é:

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