Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados: , do ponto até
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para calcular o comprimento de arco da curva entre os pontos e . Para isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva entre e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a , que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . Podemos reescrever essa função como . Aplicando a regra da potência para derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Calculando o que está dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral . Fazendo uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Quando , .
Quando , .
A integral fica:
Passo 8
Voltando para a variável original:
Agora, aplicando os limites de integração de 4 a 13:
Sabemos que e .
Então:
Passo 9
Multiplicando pela constante que está fora da integral:
Resposta
O comprimento de arco da curva entre os pontos e é: