Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
x - y^3/3 - 1/(4y) = 0 ; (7/12, 1) e (67/24, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de uma curva entre dois pontos específicos. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco para funções. Para isso, vamos precisar reescrever a equação da curva de forma que possamos derivar uma das variáveis em relação à outra e, então, aplicar a fórmula de integração para encontrar o comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para expressar em função de . A equação original é:
Isolando , temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Vamos derivar cada termo separadamente:

Passo 4

A fórmula para o comprimento de arco de uma função entre e é:
Substituindo que encontramos:
Vamos expandir o termo dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral pode ser resolvida por métodos de integração avançados ou utilizando ferramentas computacionais, pois é bastante complexa para resolver manualmente. Para simplificar, podemos utilizar uma aproximação numérica ou uma calculadora de integrais.

Resposta

Após calcular a integral, o comprimento de arco da curva entre os pontos e é aproximadamente unidades.

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