Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de uma curva entre dois pontos específicos. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco para funções. Para isso, vamos precisar reescrever a equação da curva de forma que possamos derivar uma das variáveis em relação à outra e, então, aplicar a fórmula de integração para encontrar o comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para expressar
em função de
. A equação original é:
Isolando
, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar cada termo separadamente:
Passo 4
A fórmula para o comprimento de arco
de uma função
entre
e
é:
Substituindo
que encontramos:
Vamos expandir o termo dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral pode ser resolvida por métodos de integração avançados ou utilizando ferramentas computacionais, pois é bastante complexa para resolver manualmente. Para simplificar, podemos utilizar uma aproximação numérica ou uma calculadora de integrais.
Resposta
Após calcular a integral, o comprimento de arco da curva entre os pontos
e
é aproximadamente
unidades.