Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que aparece quando a região limitada pelas curvas
,
e
é girada ao redor do eixo dos
. Para isso, vamos usar o Cálculo Integral, especificamente o método dos cilindros ou cascas cilíndricas. Vamos precisar entender como configurar a integral para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva
é uma parábola que abre para a direita. A linha
é o eixo
, e
é uma linha vertical. Então, a região limitada é a área dentro da parábola, abaixo dela (até
), e até a linha
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo dos
, o método das cascas cilíndricas é bem adequado. Esse método envolve empilhar cilindros infinitesimais ao longo do eixo de rotação e somar seus volumes. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde
é a distância do elemento à rotação (eixo
) e
é a altura da casca.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. A parábola
pode ser rearranjada para
. O limite inferior de
é essa curva e o superior é
. Como estamos integrando em relação a
, nossos limites são de
a
.
A altura da casca,
, é a diferença entre os valores de
na parábola e no eixo
(que é
). Então,
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Simplificando:
Integrando:
Calculando nos limites:
Sabendo que
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.