Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:
y^2 = 4 x, y = 0 e x = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que aparece quando a região limitada pelas curvas , e é girada ao redor do eixo dos . Para isso, vamos usar o Cálculo Integral, especificamente o método dos cilindros ou cascas cilíndricas. Vamos precisar entender como configurar a integral para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva é uma parábola que abre para a direita. A linha é o eixo , e é uma linha vertical. Então, a região limitada é a área dentro da parábola, abaixo dela (até ), e até a linha .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo dos , o método das cascas cilíndricas é bem adequado. Esse método envolve empilhar cilindros infinitesimais ao longo do eixo de rotação e somar seus volumes. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a distância do elemento à rotação (eixo ) e é a altura da casca.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. A parábola pode ser rearranjada para . O limite inferior de é essa curva e o superior é . Como estamos integrando em relação a , nossos limites são de a .
A altura da casca, , é a diferença entre os valores de na parábola e no eixo (que é ). Então, .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Simplificando:
Integrando:
Calculando nos limites:
Sabendo que :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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