Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, de
até
Passo 1
Vamos calcular o comprimento de arco da curva
entre
e
. Para isso, vamos utilizar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso é essencial porque a fórmula do comprimento de arco depende da inclinação da curva.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado da derivada que acabamos de encontrar:
Passo 4
A fórmula do comprimento de arco é dada por:
Substituindo o valor de
:
Passo 5
Observamos que a expressão dentro da raiz quadrada pode ser reescrita como um quadrado perfeito:
Portanto,
Passo 6
Agora, podemos integrar para encontrar o comprimento de arco:
Calculando as integrais:
Portanto,
Resposta
O comprimento de arco da curva entre
e
é
unidades.