Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = x^4/8 + 1/(4*x^2), de x = 1 até x = 3

Passo 1

Vamos calcular o comprimento de arco da curva entre e . Para isso, vamos utilizar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso é essencial porque a fórmula do comprimento de arco depende da inclinação da curva.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado da derivada que acabamos de encontrar:

Passo 4

A fórmula do comprimento de arco é dada por:
Substituindo o valor de :

Passo 5

Observamos que a expressão dentro da raiz quadrada pode ser reescrita como um quadrado perfeito:
Portanto,

Passo 6

Agora, podemos integrar para encontrar o comprimento de arco:
Calculando as integrais:
Portanto,

Resposta

O comprimento de arco da curva entre e é unidades.

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