Defina
e
. Suponha que
converge e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
. A gente precisa descobrir para onde essa sequência converge, ou seja, qual é o limite quando
cresce para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especificamente sobre sequências recursivas que convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a sequência realmente converge para um valor limite
. Isso significa que, quando
fica bem grande, tanto
quanto
vão se aproximar de
. Então, podemos substituir
e
por
na nossa fórmula recursiva:
Passo 3
Agora, temos uma equação para
. Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 4
Em seguida, vamos subtrair
de ambos os lados para obter uma equação quadrática:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
:
Passo 6
Porém, precisamos considerar o contexto da sequência. Como todos os termos da sequência são definidos como
e começamos com
, todos os termos da sequência serão positivos. Portanto, descartamos a solução negativa
.