Defina a1=1 e an+1=1+11+an. Suponha que an converge e calcule lim n infty an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir uma sequência onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é dado por . A gente precisa descobrir para onde essa sequência converge, ou seja, qual é o limite quando cresce para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especificamente sobre sequências recursivas que convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a sequência realmente converge para um valor limite L = 1 + 11 + L . Isso significa que, quando fica bem grande, tanto quanto vão se aproximar de . Então, podemos substituir e por na nossa fórmula recursiva:

Passo 3

Agora, temos uma equação para L(1 + L) = 1(1 + L) + 1 . Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de L + L^2 = 1 + L + 1 . Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por L + L^2 = L + 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 4

Em seguida, vamos subtrair L + L^2 - L - 2 = 0 de ambos os lados para obter uma equação quadrática:
L^2 - 2 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática L^2 = 2 :
L = raiz2 ou L = -raiz2

Passo 6

Porém, precisamos considerar o contexto da sequência. Como todos os termos da sequência são definidos como e começamos com , todos os termos da sequência serão positivos. Portanto, descartamos a solução negativa .

Resposta

limn to infty an = raiz2

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