Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:
x = 1 + sen(y), x = 0, y = +- 5pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido formado ao girar uma região ao redor do eixo dos . As curvas que delimitam essa região são , e . Para isso, vamos usar o método dos discos (também conhecido como método de Washers) e algumas integrações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas e delimitam uma área entre elas, e definem os limites verticalmente. Quando giramos essa área em torno do eixo dos , cada “fatinha” dessa região vira um disco com um certo raio.

Passo 3

O próximo passo é montar a fórmula para calcular o volume usando o método dos discos. A fórmula geral é:
Aqui, é o raio externo e é o raio interno do disco. No nosso caso, como é uma das curvas, o raio interno porque não há um “buraco” no meio do disco. Assim, a fórmula simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos expandir para facilitar a integração:
Então, nosso volume fica:
Para integrar , vamos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo isso na integral:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:
Simplificando os termos de :
Agora, avaliamos nos limites e :
Ao calcular, percebemos que os termos envolvendo e se cancelam devido à periodicidade das funções trigonométricas. Restam apenas os termos com :

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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