Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido formado ao girar uma região ao redor do eixo dos
. As curvas que delimitam essa região são
,
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos (também conhecido como método de Washers) e algumas integrações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas
e
delimitam uma área entre elas, e
definem os limites verticalmente. Quando giramos essa área em torno do eixo dos
, cada “fatinha” dessa região vira um disco com um certo raio.
Passo 3
O próximo passo é montar a fórmula para calcular o volume usando o método dos discos. A fórmula geral é:
Aqui,
é o raio externo e
é o raio interno do disco. No nosso caso, como
é uma das curvas, o raio interno
porque não há um “buraco” no meio do disco. Assim, a fórmula simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos expandir
para facilitar a integração:
Então, nosso volume fica:
Para integrar
, vamos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo isso na integral:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:
Simplificando os termos de
:
Agora, avaliamos nos limites
e
:
Ao calcular, percebemos que os termos envolvendo
e
se cancelam devido à periodicidade das funções trigonométricas. Restam apenas os termos com
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.