Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:
y = raiz(x^2 + 1), x = 0 e x = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo dos . Para resolver isso, vamos utilizar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é uma técnica muito útil para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros. Esse método consiste em imaginar o sólido de revolução como sendo composto por várias “casas” cilíndricas infinitamente finas. Cada uma dessas cilindros tem um raio, uma altura e uma espessura. A ideia é calcular o volume de cada um desses cilindros e, depois, somar todos esses volumes através de uma integral.

Passo 3

No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo dos , vamos considerar a variável como a distância do cilindro em relação ao eixo de rotação. A altura de cada cilindro será dada pela função , e a espessura será um pequeno incremento em , que chamaremos de .

Passo 4

A fórmula geral para o volume usando o método dos cilindros é:
Onde:
  • é o raio do cilindro,
  • é a altura do cilindro,
  • e são os limites de integração.
No nosso exercício, e , e .

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver a integral , vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 7

Substituindo na integral:
Integrando :
Substituindo :

Passo 8

Agora, voltando à expressão do volume:
Calculando dentro dos parênteses:

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:

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