Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo dos
. Para resolver isso, vamos utilizar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é uma técnica muito útil para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros. Esse método consiste em imaginar o sólido de revolução como sendo composto por várias “casas” cilíndricas infinitamente finas. Cada uma dessas cilindros tem um raio, uma altura e uma espessura. A ideia é calcular o volume de cada um desses cilindros e, depois, somar todos esses volumes através de uma integral.
Passo 3
No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo dos
, vamos considerar a variável
como a distância do cilindro em relação ao eixo de rotação. A altura de cada cilindro será dada pela função
, e a espessura será um pequeno incremento em
, que chamaremos de
.
Passo 4
A fórmula geral para o volume usando o método dos cilindros é:
Onde:
-
é o raio do cilindro, -
é a altura do cilindro, -
e são os limites de integração.
No nosso exercício,
e
, e
.
Passo 5
Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando
:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, voltando à expressão do volume:
Calculando dentro dos parênteses:
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é: