Determine se as séries abaixos divergem ou convergem sem utilizar o teste da razão.
sumn=1^infty n^2n^4-1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty n^2n^4-1 converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de comparação, discutindo passo a passo de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o numerador é n^2 e o denominador é n^4 - 1. Quando n cresce, n^4 domina o -1, então podemos aproximar o denominador por n^4. Assim, para n grande, a fração n^2n^4-1 se comporta como n^2n^4 = 1n^2.

Passo 3

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p-série com p = 2. Uma série p-série converge se p > 1. Portanto, a série sumn=1^infty 1n^2 converge.

Passo 4

Para comparar a nossa série com a p-série conhecida, utilizaremos o Teste do Comparação Direta. Vamos comparar os termos das duas séries:
n^2n^4-1 < n^2n^4 - n^4/2 = n^2n^4/2 = 2n^2
Aqui, para n >= 2, temos que n^4 - 1 > n^4/2, o que nos permite fazer essa comparação.

Passo 5

Como sumn=1^infty 2n^2 é simplesmente 2 vezes a série p-série que sabemos converger, então nossa série original sumn=1^infty n^2n^4-1 também converge por comparação.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2n^4-1 converge.

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