Determine se as séries abaixos divergem ou convergem sem utilizar o teste da razão.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de comparação, discutindo passo a passo de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o numerador é
e o denominador é
. Quando
cresce,
domina o
, então podemos aproximar o denominador por
. Assim, para
grande, a fração
se comporta como
.
Passo 3
Sabemos que a série
é uma série
-série com
. Uma série
-série converge se
. Portanto, a série
converge.
Passo 4
Para comparar a nossa série com a
-série conhecida, utilizaremos o Teste do Comparação Direta. Vamos comparar os termos das duas séries:
Aqui, para
, temos que
, o que nos permite fazer essa comparação.
Passo 5
Como
é simplesmente 2 vezes a série
-série que sabemos converger, então nossa série original
também converge por comparação.
Resposta
A série
converge.