Um quadrado ABCD tem vértices com coordenadas A (5,0), B (7,2), C (5,4), D (3,2). Um segundo quadrado, EFGH, tem vértices nos pontos médios das arestas do primeiro. Qual a razão entre a área do quadrado EFGH e ABCD?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado ABCD com as coordenadas dos vértices: A (5,0), B (7,2), C (5,4) e D (3,2). Queremos descobrir a razão entre a área de um segundo quadrado EFGH, que tem seus vértices nos pontos médios das arestas de ABCD, e a área do quadrado ABCD. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar pontos médios, calcular áreas de quadrados usando coordenadas e comparar essas áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas dos pontos médios das arestas do quadrado ABCD. Os pontos médios são encontrados fazendo a média das coordenadas dos extremos de cada aresta.
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Ponto médio do lado AB:
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Ponto médio do lado BC:
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Ponto médio do lado CD:
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Ponto médio do lado DA:
Então, os vértices do quadrado EFGH são E (6,1), F (6,3), G (4,3) e H (4,1).
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do quadrado ABCD. Para isso, precisamos determinar a distância entre dois pontos adjacentes, que será o lado do quadrado.
Vamos calcular a distância entre A (5,0) e B (7,2):
Então, o lado do quadrado ABCD é $ 2\sqrt{2} $ unidades.
A área de um quadrado é o lado ao quadrado:
Passo 4
Vamos calcular agora a área do quadrado EFGH. Primeiro, verificamos o lado desse quadrado.
Vamos calcular a distância entre E (6,1) e F (6,3):
Então, o lado do quadrado EFGH é 2 unidades.
A área do quadrado EFGH é:
Resposta
A razão entre a área do quadrado EFGH e a área do quadrado ABCD é: