Um quadrado ABCD tem vértices com coordenadas A (5,0), B (7,2), C (5,4), D (3,2). Um segundo quadrado, EFGH, tem vértices nos pontos médios das arestas do primeiro. Qual a razão entre a área do quadrado EFGH e ABCD?​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado ABCD com as coordenadas dos vértices: A (5,0), B (7,2), C (5,4) e D (3,2). Queremos descobrir a razão entre a área de um segundo quadrado EFGH, que tem seus vértices nos pontos médios das arestas de ABCD, e a área do quadrado ABCD. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar pontos médios, calcular áreas de quadrados usando coordenadas e comparar essas áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas dos pontos médios das arestas do quadrado ABCD. Os pontos médios são encontrados fazendo a média das coordenadas dos extremos de cada aresta.
  • Ponto médio do lado AB:
    E = ( 5 + 72, 0 + 22 ) = (6, 1)
  • Ponto médio do lado BC:
    F = ( 7 + 52, 2 + 42 ) = (6, 3)
  • Ponto médio do lado CD:
    G = ( 5 + 32, 4 + 22 ) = (4, 3)
  • Ponto médio do lado DA:
    H = ( 3 + 52, 2 + 02 ) = (4, 1)
Então, os vértices do quadrado EFGH são E (6,1), F (6,3), G (4,3) e H (4,1).

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do quadrado ABCD. Para isso, precisamos determinar a distância entre dois pontos adjacentes, que será o lado do quadrado.
Vamos calcular a distância entre A (5,0) e B (7,2):
Distância = raiz(7 - 5)^2 + (2 - 0)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 â
Então, o lado do quadrado ABCD é $ 2\sqrt{2} $ unidades.
A área de um quadrado é o lado ao quadrado:
2raiz2 Á

Passo 4

Vamos calcular agora a área do quadrado EFGH. Primeiro, verificamos o lado desse quadrado.
Vamos calcular a distância entre E (6,1) e F (6,3):
Distância = raiz(6 - 6)^2 + (3 - 1)^2 = raiz0 + 4 = 2 â
Então, o lado do quadrado EFGH é 2 unidades.
A área do quadrado EFGH é:
Área do EFGH = 2^2 = 4 unidades^2 Á

Resposta

A razão entre a área do quadrado EFGH e a área do quadrado ABCD é:
Área do EFGHÁrea do ABCD = 48 = 12 ÁÁ

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