Calcule os comprimentos
e
desses vetores. Verifique as desigualdades de Schwarz:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os comprimentos (ou normais) dos vetores
,
e
. Além disso, precisamos verificar as desigualdades de Cauchy-Schwarz, que basicamente dizem que o valor absoluto do produto interno entre dois vetores é menor ou igual ao produto das normas desses vetores. Para isso, vamos precisar das componentes de cada vetor e entender um pouquinho sobre como calcular norma e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma (comprimento) de um vetor. Se tivermos um vetor
, a norma é dada por:
Isso é essencialmente o teorema de Pitágoras estendido para três dimensões.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de cada vetor.
Suponha que:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto interno entre os vetores. O produto interno entre dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Com as normas e os produtos internos calculados, podemos verificar as desigualdades de Cauchy-Schwarz:
Isso significa que o valor absoluto do produto interno entre dois vetores nunca será maior que o produto das normas desses vetores.
Passo 6
Vamos agora substituir os valores que calculamos nas desigualdades para verificar se elas são verdadeiras.
Por exemplo, para
:
E fazemos o mesmo para
.
Resposta
Após calcular as normas dos vetores
,
e
, e os produtos internos
e
, verificamos que:
Portanto, as desigualdades de Cauchy-Schwarz estão satisfeitas para os vetores dados.