Calcule os comprimentos |u|,|v| e |w| desses vetores. Verifique as desigualdades de Schwarz:
|u cdot v| <=|u||v| e |v cdot w| <=|v||w|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os comprimentos (ou normais) dos vetores u, v e w. Além disso, precisamos verificar as desigualdades de Cauchy-Schwarz, que basicamente dizem que o valor absoluto do produto interno entre dois vetores é menor ou igual ao produto das normas desses vetores. Para isso, vamos precisar das componentes de cada vetor e entender um pouquinho sobre como calcular norma e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma (comprimento) de um vetor. Se tivermos um vetor a = (a1, a2, a3), a norma é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Isso é essencialmente o teorema de Pitágoras estendido para três dimensões.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de cada vetor.
Suponha que:
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
w = (w1, w2, w3)
Então:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto interno entre os vetores. O produto interno entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Vamos calcular u cdot v e v cdot w:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
v cdot w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3

Passo 5

Com as normas e os produtos internos calculados, podemos verificar as desigualdades de Cauchy-Schwarz:
|u cdot v| <= |u| |v|
|v cdot w| <= |v| |w|
Isso significa que o valor absoluto do produto interno entre dois vetores nunca será maior que o produto das normas desses vetores.

Passo 6

Vamos agora substituir os valores que calculamos nas desigualdades para verificar se elas são verdadeiras.
Por exemplo, para u cdot v:
|u cdot v| = |u1 v1 + u2 v2 + u3 v3|
|u| |v| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 times raizv1^2 + v2^2 + v3^2
E fazemos o mesmo para v cdot w.

Resposta

Após calcular as normas dos vetores u, v e w, e os produtos internos u cdot v e v cdot w, verificamos que:
|u cdot v| <= |u| |v|
|v cdot w| <= |v| |w|
Portanto, as desigualdades de Cauchy-Schwarz estão satisfeitas para os vetores dados.

Exercícios relacionados