Para quaisquer vetores unitários v e w, encontre os produtos internos (números reais) de:
v-2 w e v+2 w

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o produto interno de dois vetores: v-2 w e v+2 w, onde v e w são vetores unitários. Isso envolve o estudo de produto interno (ou produto escalar) e operações com vetores. Vamos precisar lembrar como expandir o produto interno de duas expressões vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de dois vetores a e b é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 + dots
Além disso, vetores unitários têm módulo igual a 1, ou seja, ||v|| = ||w|| = 1.

Passo 3

Agora, vamos expandir o produto interno (v - 2w) cdot (v + 2w). Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
(v - 2w) cdot (v + 2w) = v cdot v + 2v cdot w - 2w cdot v - 4w cdot w

Passo 4

Sabemos que v cdot v = ||v||^2 = 1 e w cdot w = ||w||^2 = 1. Além disso, v cdot w é igual a w cdot v (propriedade comutativa). Substituindo esses valores, temos:
1 + 2(v cdot w) - 2(v cdot w) - 4(1)

Passo 5

Simplificando a expressão:
1 + 2v cdot w - 2v cdot w - 4 = 1 - 4 = -3

Resposta

O produto interno de v-2 w e v+2 w é igual a -3.

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