Seja V=R^3 e considere o conjunto B=(0,2,2),(2,2,0),(2,4,2) subset R^3.
Determine uma base de R^3 que possua dois elementos de B.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o conjunto
B=v1=(0,2,2),;v2=(2,2,0),;v3=(2,4,2)
O objetivo é encontrar uma base de R^3 que contenha exatamente dois vetores de B e mais um vetor extra que complemente a dimensão.

Passo 2

Escolhemos dois vetores de B. Por exemplo, tomemos
v1=(0,2,2), v2=(2,2,0)
Devemos verificar que v1 e v2 são linearmente independentes. Se existirem escalares a,b tais que
a,v1+b,v2=(0,0,0),
então do primeiro componente 2b=0 segue b=0 e, em seguida, de 2a=0 obtemos a=0. Logo, são independentes.

Passo 3

Para completar a base, precisamos de um vetor winR^3 que não esteja no span v1,v2. Uma forma sistemática é usar o produto vetorial:
w = v1 times v2 = i&j&k 0&2&2 2&2&0 = (-4,4,-4)
Podemos simplificar este vetor, dividindo por -4, e tomar
w=(1,-1,1)

Passo 4

Verificamos que w não está no span v1,v2, pois v1 e v2 geram planos diferentes e w saiu do produto vetorial. Portanto
,v1,;v2,;w
é um conjunto de três vetores em R^3 mutuamente independentes, logo uma base.

Resposta

(0,2,2),;(2,2,0),;(1,-1,1)

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