Calcule os comutadores
\n\left[(1 / x), p_{x}^{2}\right]\n

Passo 1

O enunciado pede o comutador \left[\dfrac{1}{x},\,p_{x}^{2}\right]. Informações fornecidas / relevantes que vamos usar sem ainda resolver:
  • Queremos o operador \left[\dfrac{1}{x},\,p_{x}^{2}\right], definido como [A,B]=AB-BA.
  • No representação de posição, o operador momento é \displaystyle p_{x}=-i\hbar\frac{d}{dx}.
  • O operador \dfrac{1}{x} é o operador de multiplicação por \dfrac{1}{x} (atenção: domínio exclui x=0 por singularidade).
  • Não estamos resolvendo ainda; apenas listei o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Estratégia (explicada com calma): para calcular um comutador de operadores que envolvem derivadas, é prático fazê-lo atuando sobre uma função teste arbitrária \psi(x) (assumindo \psi suficientemente suave e com suporte que evite x=0). Usaremos a definição
\left[\dfrac{1}{x},\,p_x^2\right]\psi = \dfrac{1}{x}\,p_x^2\psi - p_x^2\!\left(\dfrac{1}{x}\psi\right).
Também vou lembrar a regra de derivação de um produto duas vezes (pois aparece a segunda derivada):
se f(x)=x^{-1} e \psi(x) são suaves, então
(f\psi)'=f'\psi+f\psi',\qquad (f\psi)''=f''\psi+2f'\psi'+f\psi''.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule \dfrac{1}{x}\,p_x^2\psi. Como p_x^2 = (-i\hbar)^2\frac{d^2}{dx^2}=-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}, temos
\dfrac{1}{x}\,p_x^2\psi = \dfrac{1}{x}\left(-\hbar^2\psi''\right) = -\hbar^2\,\dfrac{\psi''}{x}.

Passo 4

Calcule p_x^2\!\left(\dfrac{1}{x}\psi\right). Use f(x)=x^{-1}. As preparação, compute as:
f(x)=x^{-1},\qquad f'(x)=-x^{-2},\qquad f''(x)=2x^{-3}.
Pelo desenvolvimento do produto,
\left(\dfrac{1}{x}\psi\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}}\psi + \dfrac{1}{x}\psi',
\left(\dfrac{1}{x}\psi\right)'' = 2\dfrac{1}{x^{3}}\psi - 2\dfrac{1}{x^{2}}\psi' + \dfrac{1}{x}\psi''.
Então, usando p_x^2=-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2},
p_x^2\!\left(\dfrac{1}{x}\psi\right) = -\hbar^2\left(2\dfrac{\psi}{x^{3}} - 2\dfrac{\psi'}{x^{2}} + \dfrac{\psi''}{x}\right).

Passo 5

Agora subtraímos as duas expressões para obter o comutador atuando em \psi:
\begin{aligned} \left[\dfrac{1}{x},\,p_x^2\right]\psi &= -\hbar^2\dfrac{\psi''}{x} - \Big[ -\hbar^2\Big(2\dfrac{\psi}{x^{3}} - 2\dfrac{\psi'}{x^{2}} + \dfrac{\psi''}{x}\Big) \Big]\\[6pt] &= -\hbar^2\left(\dfrac{\psi''}{x}\right) +\hbar^2\left(2\dfrac{\psi}{x^{3}} - 2\dfrac{\psi'}{x^{2}} + \dfrac{\psi''}{x}\right). \end{aligned}
Observe que os termos com \dfrac{\psi''}{x} se cancelam, restando
\left[\dfrac{1}{x},\,p_x^2\right]\psi = \hbar^2\left(2\dfrac{\psi}{x^{3}} - 2\dfrac{\psi'}{x^{2}}\right) = 2\hbar^2\!\left(\dfrac{1}{x^{3}}\psi - \dfrac{1}{x^{2}}\psi'\right).
Podemos factorar para mostrar o operador que age em \psi:
\left[\dfrac{1}{x},\,p_x^2\right] = 2\hbar^2\!\left(\dfrac{1}{x^{3}} - \dfrac{1}{x^{2}}\dfrac{d}{dx}\right),
válido quando atuando em funções do domínio apropriado (suaves e com x\neq0).]

Passo 6

Opcional — forma alternativa usando identidade de comutadores (apenas para ver outra perspectiva):
para uma função f(x) vale \left[f(x),p_x\right]=i\hbar f'(x). Então
\left[f(x),p_x^2\right]=\left[f,p_x\right]p_x + p_x\left[f,p_x\right] = i\hbar\big(f' p_x + p_x f'\big).
Tomando f(x)=\dfrac{1}{x} (logo f'=-\dfrac{1}{x^{2}}), obtemos
\left[\dfrac{1}{x},p_x^2\right] = -i\hbar\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}p_x + p_x\dfrac{1}{x^{2}}\right),
que é equivalente à expressão diferencial encontrada anteriormente (substituindo p_x=-i\hbar\frac{d}{dx} e simplificando).

Resposta

\displaystyle \left[\dfrac{1}{x},\,p_x^2\right]=2\hbar^2\!\left(\dfrac{1}{x^{3}} - \dfrac{1}{x^{2}}\dfrac{d}{dx}\right)\n
\displaystyle \text{(equivalente a }\left[\dfrac{1}{x},p_x^2\right]=-i\hbar\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}p_x + p_x\dfrac{1}{x^{2}}\right)\text{)}

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