Calcule os comutadores
Passo 1
O enunciado pede o comutador
. Informações fornecidas / relevantes que vamos usar sem ainda resolver:
- Queremos o operador
, definido como . - No representação de posição, o operador momento é
. - O operador
é o operador de multiplicação por (atenção: domínio exclui por singularidade). - Não estamos resolvendo ainda; apenas listei o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Estratégia (explicada com calma): para calcular um comutador de operadores que envolvem derivadas, é prático fazê-lo atuando sobre uma função teste arbitrária
(assumindo
suficientemente suave e com suporte que evite
). Usaremos a definição
Também vou lembrar a regra de derivação de um produto duas vezes (pois aparece a segunda derivada):
se e
são suaves, então
se
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcule
. Como
, temos
Passo 4
Calcule
. Use
. As preparação, compute as:
Pelo desenvolvimento do produto,
Então, usando
,
Passo 5
Agora subtraímos as duas expressões para obter o comutador atuando em
:
Observe que os termos com
se cancelam, restando
Podemos factorar para mostrar o operador que age em
:
válido quando atuando em funções do domínio apropriado (suaves e com
).]
Passo 6
Opcional — forma alternativa usando identidade de comutadores (apenas para ver outra perspectiva):
para uma função vale
. Então
para uma função
Tomando
(logo
), obtemos
que é equivalente à expressão diferencial encontrada anteriormente (substituindo
e simplificando).