Calcule os comutadores
\n\left[x p_{y}-y p_{x}, y p_{z}-z p_{y}\right]\n

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comutador
\left[\,x p_{y}-y p_{x},\; y p_{z}-z p_{y}\right].
Informações dadas (explicitadas para não deixarmos nada implícito):
  • Os operadores aparecem como produtos de coordenadas e momentos: x p_{y}, y p_{x}, y p_{z}, z p_{y}.
  • Vamos usar as propriedades usuais de comutadores e as relações canônicas entre posições e momentos.
  • Não há mais dados ocultos no enunciado; vamos trabalhar com as identidades padrão de mecânica quântica (abaixo as recordamos e usamos).

Passo 2

Recordando as regras e identidades que usaremos (explicadas devagarinho):
  • Linearidade do comutador:
[A+B,C]=[A,C]+[B,C]\qquad\text{e}\qquad[A,B+C]=[A,B]+[A,C].
  • Regra do comutador com produto (fórmula fundamental para manipular produtos de operadores):
[A,BC]=[A,B]\,C + B\,[A,C].
Explicação: isso é análogo à derivada do produto; serve para “abrir” um comutador quando um dos lados é um produto.
  • Relações canônicas e comutações triviais entre coordenadas e momentos (essas são as únicas não nulas fundamentais):
[x_i,p_j]=i\hbar\,\delta_{ij},
[x_i,x_j]=0,\qquad [p_i,p_j]=0,
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário). Em palavras: uma coordenada comuta com outra coordenada; dois momentos comutam entre si; a única comutação não nula é entre uma coordenada e o momento conjugado da mesma componente.

Passo 3

Expandimos o comutador usando linearidade. Denotando A=x p_{y}-y p_{x} e B=y p_{z}-z p_{y}, temos
[A,B]=[x p_{y},y p_{z}] - [x p_{y},z p_{y}] - [y p_{x},y p_{z}] + [y p_{x},z p_{y}].
Agora vamos calcular cada um dos quatro termos separadamente, com calma.

Passo 4

Cálculo do primeiro termo [x p_{y},y p_{z}]. Usamos a regra [A,BC]=[A,B]C+B[A,C] com A=x p_{y}, B=y, C=p_{z}:
[x p_{y},y p_{z}] = [x p_{y},y]\,p_{z} + y\,[x p_{y},p_{z}].
Agora cada subcomutador:
  • [x p_{y},y] = x\,[p_{y},y] + [x,y]\,p_{y}. Como [x,y]=0 e [p_{y},y]=-i\hbar (pois [y,p_y]=i\hbar), obtemos
[x p_{y},y] = x\cdot(-i\hbar) = -i\hbar\,x.
  • [x p_{y},p_{z}] = x\,[p_{y},p_{z}] + [x,p_{z}]\,p_{y}. Mas [p_{y},p_{z}]=0 e [x,p_{z}]=0 (componentes diferentes), então este termo é 0.
    Portanto
[x p_{y},y p_{z}] = (-i\hbar\,x)\,p_{z} = -i\hbar\,x p_{z}.

Passo 5

Cálculo do segundo termo [x p_{y},z p_{y}]. Novamente aplicamos [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]:
[x p_{y},z p_{y}] = [x p_{y},z]\,p_{y} + z\,[x p_{y},p_{y}].
  • [x p_{y},z] = x\,[p_{y},z] + [x,z]\,p_{y} = 0 porque [p_{y},z]=0 e [x,z]=0.
  • [x p_{y},p_{y}] = x\,[p_{y},p_{y}] + [x,p_{y}]\,p_{y} = 0 + (i\hbar\delta_{xy}) p_{y}. Aqui \delta_{xy}=0 (x e y são componentes diferentes), logo [x,p_{y}]=0.
    Portanto [x p_{y},z p_{y}]=0.

Passo 6

Cálculo do terceiro termo [y p_{x},y p_{z}]. Usamos a mesma técnica:
[y p_{x},y p_{z}] = [y p_{x},y]\,p_{z} + y\,[y p_{x},p_{z}].
  • [y p_{x},y] = y\,[p_{x},y] + [y,y]\,p_{x} = 0 porque [p_{x},y]=0 (componentes diferentes) e [y,y]=0.
  • [y p_{x},p_{z}] = y\,[p_{x},p_{z}] + [y,p_{z}]\,p_{x} = 0 porque [p_{x},p_{z}]=0 e [y,p_{z}]=0.
    Logo [y p_{x},y p_{z}]=0.

Passo 7

Cálculo do quarto termo [y p_{x},z p_{y}]:
[y p_{x},z p_{y}] = [y p_{x},z]\,p_{y} + z\,[y p_{x},p_{y}].
  • [y p_{x},z] = y\,[p_{x},z] + [y,z]\,p_{x} = 0.
  • [y p_{x},p_{y}] = y\,[p_{x},p_{y}] + [y,p_{y}]\,p_{x} = 0 + (i\hbar)\,p_{x}, porque [y,p_{y}]=i\hbar.
    Portanto
[y p_{x},z p_{y}] = z\,(i\hbar\,p_{x}) = i\hbar\,z p_{x}.

Passo 8

Agora somamos os quatro resultados obtidos (lembrando os sinais da expansão do Passo 3):
[A,B] = (-i\hbar\,x p_{z}) - 0 - 0 + (i\hbar\,z p_{x}) = i\hbar\,(z p_{x} - x p_{z}).
Observação interpretativa (curtinha): a combinação (z p_{x} - x p_{z}) é precisamente a componente \,L_{y}\, do momento angular orbital \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}. Assim o resultado coincide com a conhecida relação de comutação entre componentes do momento angular.

Resposta

i\hbar\,(z p_{x} - x p_{z})

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