Calcule os comutadores
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comutador
Informações dadas (explicitadas para não deixarmos nada implícito):
- Os operadores aparecem como produtos de coordenadas e momentos:
, , , . - Vamos usar as propriedades usuais de comutadores e as relações canônicas entre posições e momentos.
- Não há mais dados ocultos no enunciado; vamos trabalhar com as identidades padrão de mecânica quântica (abaixo as recordamos e usamos).
Passo 2
Recordando as regras e identidades que usaremos (explicadas devagarinho):
- Linearidade do comutador:
- Regra do comutador com produto (fórmula fundamental para manipular produtos de operadores):
Explicação: isso é análogo à derivada do produto; serve para “abrir” um comutador quando um dos lados é um produto.
- Relações canônicas e comutações triviais entre coordenadas e momentos (essas são as únicas não nulas fundamentais):
onde
é o delta de Kronecker (
se
, e
caso contrário). Em palavras: uma coordenada comuta com outra coordenada; dois momentos comutam entre si; a única comutação não nula é entre uma coordenada e o momento conjugado da mesma componente.
Passo 3
Expandimos o comutador usando linearidade. Denotando
e
, temos
Agora vamos calcular cada um dos quatro termos separadamente, com calma.
Passo 4
Cálculo do primeiro termo
. Usamos a regra
com
,
,
:
Agora cada subcomutador:
-
. Como e (pois ), obtemos
-
. Mas e (componentes diferentes), então este termo é .
Portanto
Passo 5
Cálculo do segundo termo
. Novamente aplicamos
:
-
porque e . -
. Aqui (x e y são componentes diferentes), logo .
Portanto.
Passo 6
Cálculo do terceiro termo
. Usamos a mesma técnica:
-
porque (componentes diferentes) e . -
porque e .
Logo.
Passo 7
Cálculo do quarto termo
:
-
. -
, porque .
Portanto
Passo 8
Agora somamos os quatro resultados obtidos (lembrando os sinais da expansão do Passo 3):
Observação interpretativa (curtinha): a combinação
é precisamente a componente
do momento angular orbital
. Assim o resultado coincide com a conhecida relação de comutação entre componentes do momento angular.