Calcule a concentração de íon hidrônio ( \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}) presente em uma solução de ácido nitroso \left(\mathrm{HNO}_{2}\right) 0,120 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{O} valor de \mathrm{ka}=4,47 \times 10^{-4}. Resp.: 7,3 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a concentração do íon hidrônio em uma solução de ácido nitroso. Dados fornecidos:
\mathrm{[HNO_2]}_{\text{inicial}} = 0,120\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} e \mathrm{K_a} = 4,47\times10^{-4}.
A pergunta é: qual é [\mathrm{H_3O^+}] nessa solução em mol/L?

Passo 2

Escrevendo a reação de dissociação do ácido nitroso em água:
\mathrm{HNO_2} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H_3O^+} + \mathrm{NO_2^-}.
Explicação didática: um ácido fraco só se ioniza parcialmente em água. A constante de acidez \mathrm{K_a} mede o quão favorável é essa ionização; quanto menor \mathrm{K_a}, menos o ácido se ioniza.

Passo 3

Montamos uma tabela ICE (Inicial — Variação — Equilíbrio) para as concentrações:
\begin{array}{lcc} & \text{Inicial} & \text{Equilíbrio} \\[4pt] [\mathrm{HNO_2}] & 0,120 & 0,120 - x \\[4pt] [\mathrm{H_3O^+}] & 0 & x \\[4pt] [\mathrm{NO_2^-}] & 0 & x \end{array}í
Aqui definimos x como a concentração de \mathrm{H_3O^+} formada no equilíbrio, ou seja x=[\mathrm{H_3O^+}].]

Passo 4

A expressão da constante de acidez é:
\mathrm{K_a} = \frac{[\mathrm{H_3O^+}][\mathrm{NO_2^-}]}{[\mathrm{HNO_2}]} = \frac{x\cdot x}{0,120 - x} = \frac{x^2}{0,120 - x}.
Isso vem direto da definição: produto das concentrações dos produtos dividido pela concentração do reagente no equilíbrio.

Passo 5

Para simplificar, usamos a aproximação usual para ácidos fracos: se x for muito menor que 0,120, então 0,120 - x \approx 0,120. Assim
\mathrm{K_a} \approx \frac{x^2}{0,120}\quad\Rightarrow\quad x \approx \sqrt{\mathrm{K_a}\cdot 0,120}.
Cálculo numérico:
\mathrm{K_a}\cdot 0,120 = 4,47\times10^{-4}\times 0,120 = 5,364\times10^{-5}.
x \approx \sqrt{5,364\times10^{-5}} \approx 7,33\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Explicação: essa fórmula \,x\approx\sqrt{\mathrm{K_a}\,C}\, é muito prática em provas porque evita resolver a equação quadrática; ela é derivada assumindo que a perda do reagente é desprezível quando o ácido é fraco.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação (regra dos 5%): calcula-se a porcentagem de dissociação
\frac{x}{0,120}\times100\% \approx \frac{7,33\times10^{-3}}{0,120}\times100\% \approx 6,11\%.
Comentário didático: o resultado é cerca de 6{,}1\%, ligeiramente maior que a regra prática de 5\%. Isso indica que a aproximação é um pouco borderline aqui — ainda dá um valor perto do exato, mas vamos resolver a equação quadrática para confirmar e ver o erro.

Passo 7

Resolver a equação exata sem aproximação. Partindo de
\mathrm{K_a} = \frac{x^2}{0,120 - x}
multiplicamos ambos os lados por 0,120 - x:
\mathrm{K_a}(0,120 - x) = x^2.
Reorganizando em forma quadrática:
x^2 + \mathrm{K_a}\,x - 0,120\,\mathrm{K_a} = 0.
Aplicando a fórmula quadrática x = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} com a=1, b=\mathrm{K_a}, c=-0,120\,\mathrm{K_a}, obtemos
x = \frac{-\mathrm{K_a} + \sqrt{\mathrm{K_a}^2 + 4\cdot 0,120\cdot\mathrm{K_a}}}{2}.
Agora os números:
\mathrm{K_a}^2 = (4,47\times10^{-4})^2 = 1,998\times10^{-7},
4\cdot0,120\cdot\mathrm{K_a} = 2,1456\times10^{-4},
\Delta = \mathrm{K_a}^2 + 4\cdot0,120\cdot\mathrm{K_a} = 2,1476\times10^{-4},
\sqrt{\Delta} \approx 0,014655.
Logo
x = \frac{-4,47\times10^{-4} + 0,014655}{2} \approx 7,10\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Comparação: o valor exato 7,10\times10^{-3} difere do aproximado 7,33\times10^{-3} em cerca de 3{,}2\%, então a aproximação foi razoável mas não perfeita.

Passo 8

Conclusão e dica prática para a prova: para cálculos rápidos de ácido fraco você pode usar x\approx\sqrt{\mathrm{K_a}\,C} se a dissociação estimada for bem menor que 5\%. Se o resultado ficar perto de 5\%, é melhor resolver a equação quadrática para confirmar. Aqui ambas as abordagens dão valores muito próximos; o valor pedido/esperado na resposta do enunciado é o aproximado arredondado.

Resposta

7,3\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}

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