Calcule a concentração de todas as espécies iônicas nos \mathrm{pHs} 2,0,6,4 e 9,3 para uma solução de histidina 0,25 \mathrm{M}.

Passo 1

O enunciado pede as concentrações de todas as espécies iônicas de uma solução de histidina de concentração total C_t=0{,}25,M nos pHs 2,0; 6,4; e 9,3.
O sistema é triprótico, com constantes de dissociação aproximadas:
pK_{1}=1{,}82,\quad pK_{2}=6{,}00,\quad pK_{3}=9{,}17.
Chamando as espécies sucessivamente de \mathrm{H_{3}A^{2+}} (totalmente protonada), \mathrm{H_{2}A^{+}}, \mathrm{HA^{0}} (zwitterion) e \mathrm{A^{-}} (totalmente desprotonada),
vamos usar o método dos fatores de distribuição (frações molares).

Passo 2

Para uma triprótica, as frações molares \alpha_i das espécies são dadas por
\alpha_{0}=\frac{[H^+]^{3}}{[H^+]^{3}+K_{1}[H^+]^{2}+K_{1}K_{2}[H^+]+K_{1}K_{2}K_{3}},
\alpha_{1}=\frac{K_{1}[H^+]^{2}}{[H^+]^{3}+K_{1}[H^+]^{2}+K_{1}K_{2}[H^+]+K_{1}K_{2}K_{3}},
\alpha_{2}=\frac{K_{1}K_{2}[H^+]}{[H^+]^{3}+K_{1}[H^+]^{2}+K_{1}K_{2}[H^+]+K_{1}K_{2}K_{3}},
\alpha_{3}=\frac{K_{1}K_{2}K_{3}}{[H^+]^{3}+K_{1}[H^+]^{2}+K_{1}K_{2}[H^+]+K_{1}K_{2}K_{3}},
onde \alpha_{0}=[\mathrm{H_{3}A^{2+}}]/C_t, \alpha_{1}=[\mathrm{H_{2}A^{+}}]/C_t, \alpha_{2}=[\mathrm{HA^{0}}]/C_t, \alpha_{3}=[\mathrm{A^{-}}]/C_t.
Depois, [\text{espécie}]=C_t\cdot\alpha_ié.

Passo 3

Calculamos primeiro as constantes em molar:
K_{1}=10^{-1{,}82}=1{,}51\times10^{-2},\quad K_{2}=10^{-6{,}00}=1{,}00\times10^{-6},\quad K_{3}=10^{-9{,}17}=6{,}76\times10^{-10}.

Passo 4

pH 2,0 \Rightarrow [H^+]=10^{-2,0}=1{,}00\times10^{-2},M.
Calcula-se o denominador
D=[H^+]^{3}+K_{1}[H^+]^{2}+K_{1}K_{2}[H^+]+K_{1}K_{2}K_{3} \approx2{,}514\times10^{-6}.
As frações (arredondadas) são \alpha_{0}=0{,}398, \alpha_{1}=0{,}602, \alpha_{2}=6{,}02\times10^{-5}, \alpha_{3}\approx4\times10^{-12}.
Multiplicando por C_t=0{,}25,M, obtém-se
[\mathrm{H_{3}A^{2+}}]=0{,}0995\text{ M},\quad [\mathrm{H_{2}A^{+}}]=0{,}1505\text{ M},\quad [\mathrm{HA^{0}}]=1{,}50\times10^{-5}\text{ M},\quad [\mathrm{A^{-}}]\approx1\times10^{-12}\text{ M}.

Passo 5

pH 6,4 \Rightarrow [H^+]=10^{-6,4}=3{,}98\times10^{-7},M.
Denominador
D\approx8{,}43\times10^{-15}.
Frações \alpha_{0}=7{,}49\times10^{-6}, \alpha_{1}=0{,}283, \alpha_{2}=0{,}716, \alpha_{3}=1{,}21\times10^{-3}.
Concentrações
[\mathrm{H_{3}A^{2+}}]=1{,}87\times10^{-6}\text{ M},\quad [\mathrm{H_{2}A^{+}}]=0{,}0708\text{ M},\quad [\mathrm{HA^{0}}]=0{,}179\text{ M},\quad [\mathrm{A^{-}}]=3{,}03\times10^{-4}\text{ M}.

Passo 6

pH 9,3 \Rightarrow [H^+]=10^{-9,3}=5{,}01\times10^{-10},M.
Denominador
D\approx1{,}783\times10^{-17}.
Frações \alpha_{0}=7{,}07\times10^{-12}, \alpha_{1}=2{,}13\times10^{-4}, \alpha_{2}=0{,}426, \alpha_{3}=0{,}574.
Concentrações
[\mathrm{H_{3}A^{2+}}]=1{,}77\times10^{-12}\text{ M},\quad [\mathrm{H_{2}A^{+}}]=5{,}33\times10^{-5}\text{ M},\quad [\mathrm{HA^{0}}]=0{,}1065\text{ M},\quad [\mathrm{A^{-}}]=0{,}1435\text{ M}.

Resposta

pH 2,0
(a) [\mathrm{H_{3}A^{2+}}]=0{,}0995,M
(b) [\mathrm{H_{2}A^{+}}]=0{,}1505,M
(c) [\mathrm{HA^{0}}]=1{,}50\times10^{-5},M
(d) [\mathrm{A^{-}}]\approx1\times10^{-12},M
pH 6,4
(a) [\mathrm{H_{3}A^{2+}}]=1{,}87\times10^{-6},M
(b) [\mathrm{H_{2}A^{+}}]=0{,}0708,M
(c) [\mathrm{HA^{0}}]=0{,}179,M
(d) [\mathrm{A^{-}}]=3{,}03\times10^{-4},M
pH 9,3
(a) [\mathrm{H_{3}A^{2+}}]=1{,}77\times10^{-12},M
(b) [\mathrm{H_{2}A^{+}}]=5{,}33\times10^{-5},M
(c) [\mathrm{HA^{0}}]=0{,}1065,M
(d) [\mathrm{A^{-}}]=0{,}1435,M

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