Calcule as concentrações de \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}, \mathrm{HCO}_{3}{ }^{-}, \mathrm{CO}_{3}{ }^{2-}, \mathrm{H}^{+}e \mathrm{OH}^{-}presentes em uma solução 0,0456 \mathrm{M} de \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3(\mathrm{aq})}. Dados: \mathrm{K}_{\mathrm{a} 1}=4,3 \times 10^{-7}, \mathrm{~K}_{\mathrm{a} 2}=5,6 \times 10^{-11} }

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Calcular as concentrações em equilíbrio de \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}, \mathrm{HCO}_{3}^{-}, \mathrm{CO}_{3}^{2-}, \mathrm{H}^{+} e \mathrm{OH}^{-} numa solução inicial de \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3} com concentração inicial \,0,0456\\ \mathrm{M}.
Informações fornecidas:
  • Concentração inicial de \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}: \,C=0,0456\\ \mathrm{M}.
  • Constantes de dissociação: K_{a1}=4{,}3\times 10^{-7},\qquad K_{a2}=5{,}6\times 10^{-11}.
Observação que vou assumir (condição padrão da maioria dos exercícios): temperatura 25^\circ\mathrm{C} e constante de ionização da água K_w=1{,}0\times 10^{-14}.

Passo 2

Modelo da reação e incógnitas (ICE):
  • Reações de interesse: \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{HCO}_{3}^{-}
\mathrm{HCO}_{3}^{-}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{CO}_{3}^{2-}
  • Defino as incógnitas: x=\text{extensão da 1ª dissociação} = [\mathrm{H}^{+}]_{\text{(da 1ª)}}=[\mathrm{HCO}_{3}^{-}]_{\text{(formado inicialmente)}}ãªçãª
y=\text{extensão da 2ª dissociação} = [\mathrm{CO}_{3}^{2-}]ãªçã
No equilíbrio, as concentrações (antes de considerar a contribuição da água) são:
[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}]=C-x,\quad [\mathrm{HCO}_{3}^{-}]=x-y,\quad [\mathrm{CO}_{3}^{2-}]=y,
e a concentração de \mathrm{H}^{+} será aproximadamente x+y (pois cada etapa libera um próton).

Passo 3

Equilíbrio da primeira dissociação e equação para x.
A definição da constante K_{a1} é
K_{a1}=\frac{[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{HCO}_{3}^{-}]}{[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}]}.
Substituindo as expressões do ICE (ignorando ainda y porque é muito pequeno comparado a x, justificarei isso depois):
K_{a1}=\frac{x\cdot x}{C-x}=\frac{x^{2}}{C-x}.
Rearranjando dá uma equação quadrática:
x^{2}+K_{a1}x-K_{a1}C=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-K_{a1}+\sqrt{K_{a1}^{2}+4K_{a1}C}}{2}.
Agora calculamos numericamente (mostrando os passos):
4K_{a1}C=4\cdot(4{,}3\times 10^{-7})\cdot 0{,}0456
Calcule:
4K_{a1}C\approx 7{,}8432\times 10^{-8},
K_{a1}^{2}=(4{,}3\times 10^{-7})^{2}\approx 1{,}85\times 10^{-13}\\ (\text{negligível frente ao termo anterior}).í
Logo o discriminante é aproximadamente \,7{,}8432\times 10^{-8} e
\sqrt{K_{a1}^{2}+4K_{a1}C}\approx 2{,}8006\times 10^{-4}.
Portanto
x\approx\frac{-4{,}3\times 10^{-7}+2{,}8006\times 10^{-4}}{2}=1{,}398\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}.

Passo 4

Verificação da aproximação usada para a 1ª dissociação.
A aproximação foi considerar o termo C-x\approx C na equação de K_{a1}. Isto é aceitável se x\ll C. Calculamos a razão:
\frac{x}{C}=\frac{1{,}398\times 10^{-4}}{0{,}0456}\approx 0{,}00306\\ (\text{ou }0{,}306\%),
que é muito menor que 5\%. Logo a aproximação é válida.

Passo 5

Segunda dissociação: equação para y e aproximação.
A definição de K_{a2} é
K_{a2}=\frac{[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{CO}_{3}^{2-}]}{[\mathrm{HCO}_{3}^{-}]}.
Substituindo concentrações de equilíbrio:
K_{a2}=\frac{(x+y)\,y}{\,x-y\,}.
No nosso caso K_{a2} é muito pequeno ( 5{,}6\times 10^{-11}), e espera-se que y\ll x. Se y\ll x então:
K_{a2}\approx \frac{x\cdot y}{x}=y.
Portanto, à primeira aproximação,
y\approx K_{a2}=5{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}.
Verificamos a consistência:
\frac{y}{x}=\frac{5{,}6\times 10^{-11}}{1{,}398\times 10^{-4}}\approx 4{,}01\times 10^{-7},
claramente \ll 5\%, então a aproximação y\ll x é válida.

Passo 6

Cálculo final das concentrações de cada espécie (usando x e y obtidos).
  • \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}:
[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}]=C-x=0{,}0456-1{,}398\times 10^{-4}=0{,}045460\\ \mathrm{M}.
  • \mathrm{HCO}_{3}^{-}:
[\mathrm{HCO}_{3}^{-}]=x-y\approx 1{,}398\times 10^{-4}-5{,}6\times 10^{-11}\approx 1{,}398\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}.
(ou seja, o termo y é desprezível aqui)
  • \mathrm{CO}_{3}^{2-}:
[\mathrm{CO}_{3}^{2-}]=y\approx 5{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Concentração de \mathrm{H}^{+} e \mathrm{OH}^{-}.
A concentração final de prótons é a soma das contribuições das duas dissociações (e da água, mas isso será desprezível):
[\mathrm{H}^{+}]\approx x+y\approx 1{,}398\times 10^{-4}+5{,}6\times 10^{-11}\approx 1{,}398\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}.
Usando a constante de ionização da água K_w=1{,}0\times 10^{-14},
[\mathrm{OH}^{-}]=\frac{K_w}{[\mathrm{H}^{+}]}=\frac{1{,}0\times 10^{-14}}{1{,}398\times 10^{-4}}\approx 7{,}15\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}.

Resposta

[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}]=0{,}045460\\ \mathrm{M}
[\mathrm{HCO}_{3}^{-}]=1{,}398\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{CO}_{3}^{2-}]=5{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{H}^{+}]=1{,}398\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{OH}^{-}]=7{,}15\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}

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