2-) Calcule o pH de uma solução 4,18 \times 10^{-8} \mathrm{M} de \mathrm{NaOH}_{(\mathrm{aq})}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o pH de uma solução de \mathrm{NaOH}_{(aq)} com concentração 4,18\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.\n
Informações dadas e relevantes:
  • Concentração da base forte \mathrm{NaOH}: \;c = 4,18\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.
  • \mathrm{NaOH} é uma base forte e se dissocia totalmente em água, portanto a contribuição direta para [\mathrm{OH}^-] é c.
  • A água se autodissocia segundo \mathrm{H_2O \rightleftharpoons H^+ + OH^-} e a constante de ionização da água (à 25^\circC) é K_w = 1,0\times10^{-14}.
  • O enunciado pede o pH da solução (ou seja, \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]).\n
    Repare que a concentração de base é do mesmo ordem de grandeza que a concentração de íons provenientes da autodissociação da água ( 10^{-7}\\ \mathrm{M}). Portanto não dá para simplesmente ignorar a autodissociação da água — teremos que incluí-la no cálculo.

Passo 2

Montando o modelo químico passo a passo (aula rápida e prática):
  • Chamo \;c\; a concentração inicial de \mathrm{OH}^- vinda da base, isto é \;c = 4,18\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.
  • Seja x a concentração final de \mathrm{H}^+ proveniente da autodissociação da água. Como cada autodissociação também produz um \mathrm{OH}^-, a água contribui com x para [\mathrm{OH}^-].
  • Então as concentrações no equilíbrio serão: [\mathrm{H}^+] = x
[\mathrm{OH}^-] = c + x
  • Usa-se a relação definição de K_w: K_w = [\mathrm{H}^+][\mathrm{OH}^-]Substituindo: K_w = x\,(c + x).
  • Essa é uma equação quadrática em x. Organizando: x^2 + c\,x - K_w = 0.
  • Para encontrar x=[\mathrm{H}^+] resolvemos essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo a quadrática com a fórmula de Bhaskara (explicando cada termo):
  • A equação é x^2 + c\,x - K_w = 0. Os coeficientes são a=1, b=c, c_{\text{termo}}=-K_w.
  • A fórmula geral dá: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4a c_{\text{termo}}}}{2a} = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 + 4K_w}}{2}.(note o sinal + dentro da raiz porque c_{\text{termo}}=-K_w). Escolhemos a raiz positiva fisicamente significativa: x = \frac{-c + \sqrt{c^2 + 4K_w}}{2}.
  • Agora substituímos os valores numéricos (faça essa conta com calma na prova): c = 4,18\times10^{-8},\qquad K_w = 1,0\times10^{-14}.Calcule c^2: c^2 = (4,18\times10^{-8})^2 = 1,74724\times10^{-15}.Calcule 4K_w: 4K_w = 4,0\times10^{-14}.Soma dentro da raiz: c^2 + 4K_w = 1,74724\times10^{-15} + 4,0\times10^{-14} = 4,174724\times10^{-14}.Raiz quadrada: \sqrt{c^2 + 4K_w} = \sqrt{4,174724\times10^{-14}} \approx 2,04309\times10^{-7}.Agora o numerador: -c + \sqrt{\cdot} = -4,18\times10^{-8} + 2,04309\times10^{-7} = 1,62529\times10^{-7}.Dividindo por 2: x = [\mathrm{H}^+] \approx \frac{1,62529\times10^{-7}}{2} = 8,12645\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.

Passo 4

Cálculo do pH a partir de [\mathrm{H}^+] e interpretação:
  • Definição do pH: \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+].
  • Substituindo [\mathrm{H}^+] = 8,12645\times10^{-8}: \mathrm{pH} = -\log_{10}\!\bigl(8,12645\times10^{-8}\bigr).Use a propriedade do logaritmo: \log_{10}\!\bigl(8,12645\times10^{-8}\bigr) = \log_{10}(8,12645) + \log_{10}(10^{-8}) = \log_{10}(8,12645) - 8.
\log_{10}(8,12645) \approx 0,9096.
Logo
\mathrm{pH} \approx -\bigl(0,9096 - 8\bigr) = 7,0904.
  • Arredondando de acordo com os algarismos significativos da entrada (concentração dada com três algarismos significativos), reportamos o resultado com duas casas decimais razoáveis: \mathrm{pH} \approx 7,09.
  • Interpretação: a solução é levemente básica (pH um pouco maior que 7) — faz sentido porque adicionamos uma base muito diluída cujo efeito fica na mesma ordem de grandeza da autodissociação da água.

Resposta

7,09

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