A energia livre de Gibbs pode ser determinada através de variáveis mensuráveis experimentalmente, como \mathrm{T}, \bar{V} e P , onde a derivada parcial de G em função de P a T constante é igual a V. Considerando esta informação, avalie a espontaneidade para um processo no qual 0,2 mol de um gás ideal são expandidos de 500 kPa para 200 kPa de pressão, à temperatura ambiente de 25{ }^{\circ} \mathrm{C}. (-454,26 J)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
  • Pedido: avaliar a espontaneidade do processo através da variação da energia livre de Gibbs do sistema.
  • Dados fornecidos:
    • Quantidade de substância: n=0{,}2 mol.
    • Pressão inicial: P_{1}=500\\ \mathrm{kPa}.
    • Pressão final: P_{2}=200\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Informação útil dada no enunciado: a derivada parcial de G em relação a P à temperatura constante é igual ao volume V, isto é, \left(\dfrac{\partial G}{\partial P}\right)_{T}=V.
    Nada mais será assumido; a resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Entender a relação fundamental que vamos usar e o porquê.
A informação \left(\dfrac{\partial G}{\partial P}\right)_{T}=V significa que, à temperatura constante, uma pequena mudança na pressão causa uma mudança em G igual a V\,dP. Então, para uma variação finita de pressão de P_{1} para P_{2} à T constante, integramos:
\Delta G = \int_{P_{1}}^{P_{2}} V\,dP.
Aqui \Delta G é a variação da energia livre de Gibbs do sistema entre os estados final e inicial. Note que G é função de estado, então \Delta G depende só dos estados inicial e final (não do caminho).

Passo 3

Reescrever V para um gás ideal à temperatura constante.
Para um gás ideal a equação de estado é:
PV = nRT,
onde
  • P é a pressão,
  • V é o volume do gás,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais ( R\approx 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura em Kelvin.
    Dessa equação isolamos V:
V=\dfrac{nRT}{P}.
Substituindo essa expressão na integral do passo anterior temos:
\Delta G = \int_{P_{1}}^{P_{2}} \dfrac{nRT}{P}\,dP.

Passo 4

Fazer a integral (explicando cada passo matemático).
Na integral \displaystyle \int_{P_{1}}^{P_{2}} \dfrac{nRT}{P}\,dP os fatores n, R e T são constantes (processo isotérmico), então saem da integral:
\Delta G = nRT \int_{P_{1}}^{P_{2}} \dfrac{1}{P}\,dP.
A integral de 1/P é o logaritmo natural:
\int_{P_{1}}^{P_{2}} \dfrac{1}{P}\,dP = \ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right).
Portanto obtemos a fórmula final para a variação de Gibbs em um gás ideal isotérmico:
\Delta G = nRT\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right).
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • n em mol;
  • R em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T em \mathrm{K};
  • as pressões podem estar em qualquer unidade consistente, pois aparecem na razão (a razão é adimensional).

Passo 5

Substituir os valores numéricos e preparar os cálculos (conversão de temperatura).
Converter a temperatura para Kelvin:
T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Calcular primeiro nRT:
nRT = 0{,}2 \times 8{,}314462618 \times 298{,}15.
Vamos calcular passo a passo:
8{,}314462618 \times 298{,}15 \approx 2478{,}95703\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},
nRT = 0{,}2 \times 2478{,}95703 \approx 495{,}791406\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o logaritmo e obter \Delta G.
Calcular a razão de pressões e o logaritmo natural:
\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = \dfrac{200}{500} = 0{,}4,
\ln\!\left(0{,}4\right) \approx -0{,}9162907319.
Agora multiplicamos:
\Delta G = nRT\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right) \approx 495{,}791406 \times (-0{,}9162907319).
\Delta G \approx -454{,}263\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas decimais (mesma forma do enunciado):
\Delta G \approx -454{,}26\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação da espontaneidade (explicação física e incentivo).
  • Critério de espontaneidade à temperatura e pressão constantes: se \Delta G<0, o processo é espontâneo; se \Delta G>0, não é espontâneo; se \Delta G=0, está em equilíbrio.
  • Aqui encontramos \Delta G = -454{,}26\\ \mathrm{J}<0. Logo o processo (a expansão isotérmica do gás ideal de 500\\ \mathrm{kPa} para 200\\ \mathrm{kPa}) é espontâneo sob as condições dadas.
    Observação prática: G é função de estado, então esse \Delta G vale independentemente do caminho real seguido (reversível ou irreversível), desde que os estados inicial e final sejam os mesmos e que o gás possa ser tratado como ideal. Boa! Você conseguiu — esse número negativo significa que o processo tende a acontecer por si só nessas condições.

Resposta

\Delta G = -454{,}26\\ \mathrm{J}
Processo espontâneo ( \Delta G<0).

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