Calcule as condutividades térmicas (a) do neônio e (b) do nitrogênio, a 300 K e 15 mbar. Cada gás está confinado num vaso cúbico de aresta igual a 15 cm, com uma face a 305 K e a face oposta a 295 K. Qual a velocidade do fluxo de energia térmica de uma face para a outra, em cada caso?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as condutividades térmicas do neônio (Ne) e do nitrogênio (N₂) nas condições dadas: temperatura de 300 K e pressão de 15 mbar. Além disso, queremos saber a velocidade do fluxo de energia térmica de uma face para a outra do vaso. Para isso, vamos usar conceitos da termodinâmica e da cinética dos gases. Vamos precisar entender como a energia térmica se move nos gases e usar algumas fórmulas básicas para calcular a condutividade térmica e o fluxo de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a condutividade térmica. Ela mede quão bem um material conduz calor. No caso dos gases, a condutividade térmica depende da velocidade média das moléculas, da capacidade térmica e do caminho médio que as moléculas percorrem antes de colidir.
A fórmula básica para a condutividade térmica ($ \kappa $) na teoria cinética dos gases é:
Onde:
- $ C_v $ é a capacidade térmica específica a volume constante,
- $ \bar{c} $ é a velocidade média das moléculas,
- $ \lambda $ é o caminho livre médio das moléculas.
Passo 3
Vamos começar calculando a velocidade média ($ \bar{c} $) das moléculas para cada gás. A velocidade média pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann (
), - $ T $ é a temperatura (300 K),
- $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
Precisamos encontrar $ m $ para Ne e N₂.
Passo 4
Vamos determinar a massa de uma molécula de cada gás.
Para o Neônio (Ne):
- Massa molar do Ne: aproximadamente 20,18 g/mol.
- Massa de uma molécula: $ m = \frac{20,18 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 3,35 \times 10^{-26} , kg $.
Para o Nitrogênio (N₂):
- Massa molar do N₂: aproximadamente 28,02 g/mol.
- Massa de uma molécula: $ m = \frac{28,02 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 4,65 \times 10^{-26} , kg $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade média ($ \bar{c} $) para cada gás usando a fórmula mencionada:
Para o Neônio (Ne):
Para o Nitrogênio (N₂):
Passo 6
Em seguida, precisamos encontrar o caminho livre médio ($ \lambda $) para cada gás. O caminho livre médio pode ser calculado pela fórmula:
Onde:
- $ d $ é o diâmetro efetivo da molécula,
- $ P $ é a pressão (15 mbar = 1,5 × 10³ Pa).
Vamos assumir diâmetros moleculares típicos:
- Para Neônio, $ d_{Ne} \approx 0,31 , nm $,
- Para Nitrogênio, $ d_{N2} \approx 0,37 , nm $.
Passo 7
Calculando o caminho livre médio ($ \lambda $) para cada gás:
Para o Neônio (Ne):
Para o Nitrogênio (N₂):
Passo 8
Agora, vamos calcular a condutividade térmica ($ \kappa $) usando a fórmula:
Primeiro, precisamos da capacidade térmica específica ($ C_v $) para cada gás. Para gases diatômicos como o N₂, $ C_v = \frac{5}{2} R $, e para gases monoatômicos como o Ne, $ C_v = \frac{3}{2} R $, onde $ R $ é a constante dos gases (
).
Convertendo para capacidade por molécula ($ C_v $) dividindo por $ N_A $ (Número de Avogadro,
):
Para o Neônio (Ne):
Para o Nitrogênio (N₂):
Passo 9
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da condutividade térmica:
Para o Neônio (Ne):
Para o Nitrogênio (N₂):
Passo 10
Por fim, para encontrar a velocidade do fluxo de energia térmica ($ Q $), usamos a lei de Fourier:
Onde:
- $ A $ é a área da face do vaso ($ (0,15 , m)^2 = 0,0225 , m^2 $),
- $ \Delta T = 305 , K - 295 , K = 10 , K $,
- $ L = 0,15 , m $.
Calculando para cada gás:
Para o Neônio (Ne):
Para o Nitrogênio (N₂):
Resposta
As condutividades térmicas calculadas são aproximadamente
tanto para o neônio quanto para o nitrogênio. A velocidade do fluxo de energia térmica de uma face para a outra do vaso é de aproximadamente
para ambos os gases.