Calcule as condutividades térmicas (a) do neônio e (b) do nitrogênio, a 300 K e 15 mbar. Cada gás está confinado num vaso cúbico de aresta igual a 15 cm, com uma face a 305 K e a face oposta a 295 K. Qual a velocidade do fluxo de energia térmica de uma face para a outra, em cada caso?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as condutividades térmicas do neônio (Ne) e do nitrogênio (N₂) nas condições dadas: temperatura de 300 K e pressão de 15 mbar. Além disso, queremos saber a velocidade do fluxo de energia térmica de uma face para a outra do vaso. Para isso, vamos usar conceitos da termodinâmica e da cinética dos gases. Vamos precisar entender como a energia térmica se move nos gases e usar algumas fórmulas básicas para calcular a condutividade térmica e o fluxo de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a condutividade térmica. Ela mede quão bem um material conduz calor. No caso dos gases, a condutividade térmica depende da velocidade média das moléculas, da capacidade térmica e do caminho médio que as moléculas percorrem antes de colidir.
A fórmula básica para a condutividade térmica ($ \kappa $) na teoria cinética dos gases é:
kappa
Onde:
  • $ C_v $ é a capacidade térmica específica a volume constante,
  • $ \bar{c} $ é a velocidade média das moléculas,
  • $ \lambda $ é o caminho livre médio das moléculas.

Passo 3

Vamos começar calculando a velocidade média ($ \bar{c} $) das moléculas para cada gás. A velocidade média pode ser calculada usando a fórmula:
barc
Onde:
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann ( barc = raiz8kBTpi m ),
  • $ T $ é a temperatura (300 K),
  • $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
Precisamos encontrar $ m $ para Ne e N₂.

Passo 4

Vamos determinar a massa de uma molécula de cada gás.
Para o Neônio (Ne):
  • Massa molar do Ne: aproximadamente 20,18 g/mol.
  • Massa de uma molécula: $ m = \frac{20,18 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 3,35 \times 10^{-26} , kg $.
Para o Nitrogênio (N₂):
  • Massa molar do N₂: aproximadamente 28,02 g/mol.
  • Massa de uma molécula: $ m = \frac{28,02 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 4,65 \times 10^{-26} , kg $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade média ($ \bar{c} $) para cada gás usando a fórmula mencionada:
Para o Neônio (Ne):
barc
Para o Nitrogênio (N₂):
barcNe = raiz8 times 1,38 times 10^-23 times 300pi times 3,35 times 10^-26 approx raiz3,312 times 10^-201,053 times 10^-25 approx raiz3,146 times 10^5 approx 561 , m/s

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar o caminho livre médio ($ \lambda $) para cada gás. O caminho livre médio pode ser calculado pela fórmula:
lambda
Onde:
  • $ d $ é o diâmetro efetivo da molécula,
  • $ P $ é a pressão (15 mbar = 1,5 × 10³ Pa).
Vamos assumir diâmetros moleculares típicos:
  • Para Neônio, $ d_{Ne} \approx 0,31 , nm $,
  • Para Nitrogênio, $ d_{N2} \approx 0,37 , nm $.

Passo 7

Calculando o caminho livre médio ($ \lambda $) para cada gás:
Para o Neônio (Ne):
Para o Nitrogênio (N₂):

Passo 8

Agora, vamos calcular a condutividade térmica ($ \kappa $) usando a fórmula:
kappa
Primeiro, precisamos da capacidade térmica específica ($ C_v $) para cada gás. Para gases diatômicos como o N₂, $ C_v = \frac{5}{2} R $, e para gases monoatômicos como o Ne, $ C_v = \frac{3}{2} R $, onde $ R $ é a constante dos gases ( kappa = 13 Cv barc lambda ).
Convertendo para capacidade por molécula ($ C_v $) dividindo por $ N_A $ (Número de Avogadro, Cv ):
Para o Neônio (Ne):
Cv = 52 R é
Para o Nitrogênio (N₂):
Cv = 32 R é

Passo 9

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da condutividade térmica:
Para o Neônio (Ne):
kappaNe = 13 times 2,07 times 10^-23 times 561 times 4,56 times 10^-6 approx 13 times 2,07 times 10^-23 times 2,56 times 10^-2 approx 13 times 5,29 times 10^-25 approx 1,76 times 10^-25 , W/m·K
Para o Nitrogênio (N₂):
kappaN2 = 13 times 3,46 times 10^-23 times 476 times 3,21 times 10^-6 approx 13 times 3,46 times 10^-23 times 1,53 times 10^-2 approx 13 times 5,29 times 10^-25 approx 1,76 times 10^-25 , W/m·K

Passo 10

Por fim, para encontrar a velocidade do fluxo de energia térmica ($ Q $), usamos a lei de Fourier:
Q
Onde:
  • $ A $ é a área da face do vaso ($ (0,15 , m)^2 = 0,0225 , m^2 $),
  • $ \Delta T = 305 , K - 295 , K = 10 , K $,
  • $ L = 0,15 , m $.
Calculando para cada gás:
Para o Neônio (Ne):
Q = kappa times A times De
Para o Nitrogênio (N₂):
A

Resposta

As condutividades térmicas calculadas são aproximadamente 1,76 times 10^-25 , W/m·K tanto para o neônio quanto para o nitrogênio. A velocidade do fluxo de energia térmica de uma face para a outra do vaso é de aproximadamente 2,64 times 10^-26 , W para ambos os gases.

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