A viscosidade de um clorofluorcarbono (CFC) foi medida pela comparação da velocidade de escoamento através de um capilar longo (fórmula de Poiseuille) com a velocidade de escoamento do argônio. Para uma mesma diferença de pressão, um certo volume de CFC levou 72,0 s para escoar, enquanto o mesmo volume de argônio levou 18,0 s para escoar. A viscosidade do argônio a 25^circ C é 208 mu P. Qual é a viscosidade do CFC? Estime o diâmetro da molécula do CFC. Tomar M=200 g mol^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da viscosidade de fluidos, especificamente comparando um clorofluorcarbono (CFC) com argônio usando a fórmula de Poiseuille. A gente vai precisar entender como a viscosidade influencia o tempo de escoamento de um líquido por um capilar e, depois, estimar o diâmetro das moléculas do CFC com base na viscosidade encontrada. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é viscosidade. Viscosidade é uma medida de quão “grosso” ou resistente um fluido é ao escoamento. Quanto maior a viscosidade, mais difícil é para o fluido fluir.
A fórmula de Poiseuille nos dá uma relação entre a viscosidade de um fluido e o tempo que ele leva para escoar por um capilar sob uma certa diferença de pressão. A fórmula básica é:
Q = De
Onde:
  • Q é o fluxo volumétrico
  • De é a diferença de pressão
  • r é o raio do capilar
  • eta é a viscosidade
  • L é o comprimento do capilar
Como a diferença de pressão ( De), o raio ( r) e o comprimento ( L) são os mesmos para ambos os fluidos, podemos comparar os tempos de escoamento para encontrar a viscosidade do CFC.

Passo 3

Sabemos que o tempo de escoamento ( t) está inversamente relacionado ao fluxo volumétrico ( Q). Ou seja:
Q propto 1t
Portanto, podemos relacionar as viscosidades dos dois fluidos da seguinte forma:
etaCFCetaAr = tCFCtAr
Onde:
  • etaCFC é a viscosidade do CFC
  • etaAr é a viscosidade do argônio
  • tCFC é o tempo de escoamento do CFC
  • tAr é o tempo de escoamento do argônio

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na equação:
etaCFC208, muP = 72,0, s18,0, s
Simplificando a fração do lado direito:
72,018,0 = 4
Portanto:
etaCFC208, muP = 4

Passo 5

Agora, isolamos etaCFC:
etaCFC = 4 times 208, muP = 832, muP
Então, a viscosidade do CFC é 832, muP.

Passo 6

Agora, vamos estimar o diâmetro das moléculas do CFC. Para isso, podemos usar uma relação da teoria cinética dos gases, que relaciona a viscosidade ( eta) com o diâmetro molecular ( sigma), a massa molar ( M), e a temperatura ( T).
A fórmula simplificada que relaciona esses parâmetros é:
eta = 516 cdot raizpi M kB Tsigma^2
Onde:
  • eta é a viscosidade
  • M é a massa molar
  • kB é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23, J/K)
  • T é a temperatura em Kelvin
  • sigma é o diâmetro molecular
Vamos reorganizar essa fórmula para resolver sigma:
sigma = raiz5 raizpi M kB T16 eta

Passo 7

Antes de substituir os valores, precisamos converter algumas unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Massa molar M = 200, g/mol = 200 times 10^-3, kg/mol
  • Temperatura T = 25^circC = 298, K
  • Viscosidade eta = 832, muP = 832 times 10^-6, P
Sabemos que 1, P = 0,1, Pa cdot s, então:
eta = 832 times 10^-6 times 0,1 = 8,32 times 10^-5, Pa cdot s

Passo 8

Agora, substituímos todos os valores na fórmula:
sigma = raiz5 times raizpi times 200 times 10^-3, kg/mol times 1,38 times 10^-23, J/K times 298, K16 times 8,32 times 10^-5, Pa cdot s
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando o numerador dentro da raiz:
raizpi times 200 times 10^-3 times 1,38 times 10^-23 times 298 approx raiz3,1416 times 0,2 times 1,38 times 10^-23 times 298 approx raiz2,89 times 10^-21 approx 1,70 times 10^-10, kg^1/2 cdot m^1/2 cdot s^-1/2
  1. Multiplicando pelo 5:
5 times 1,70 times 10^-10 approx 8,50 times 10^-10
  1. Dividindo pelo denominador:
8,50 times 10^-1016 times 8,32 times 10^-5 approx 8,50 times 10^-101,3312 times 10^-3 approx 6,39 times 10^-7
  1. Tirando a raiz quadrada:
sigma = raiz6,39 times 10^-7 approx 7,99 times 10^-4, m = 0,799, nm

Resposta

A viscosidade do CFC é 832 μP e o diâmetro das moléculas do CFC é aproximadamente 0,799 nm.

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