Calcule no conjunto dos números complexos raiz1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as raízes quadradas de 1 no conjunto dos números complexos. Isso envolve entender o que são números complexos e como encontrar soluções para a equação z^2 = 1 usando conceitos de álgebra complexa.

Passo 2

Primeiro, sabemos que um número complexo pode ser escrito na forma z = a + bi , onde a e b são números reais, e i é a unidade imaginária, que satisfaz i^2 = -1 .

Passo 3

Queremos encontrar todos os números complexos z que, ao serem elevados ao quadrado, resultem em 1. Ou seja, temos a equação:
z^2 = 1
Substituindo z por a + bi , temos:
(a + bi)^2 = 1

Passo 4

Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2
Sabemos que i^2 = -1 , então:
a^2 + 2abi - b^2 = 1

Passo 5

Para que dois números complexos sejam iguais, as partes reais e imaginárias devem ser iguais. Assim, temos:
a^2 - b^2 = 1 2ab = 0
A segunda equação, 2ab = 0 , nos diz que ou a = 0 ou b = 0 .

Passo 6

Vamos analisar as duas possibilidades:
  1. Se a = 0 :
a^2 - b^2 = 0 - b^2 = 1 Rightarrow -b^2 = 1 Rightarrow b^2 = -1
Isso não tem solução real, pois b^2 não pode ser negativo.
  1. Se b = 0 :
a^2 - 0 = 1 Rightarrow a^2 = 1 Rightarrow a = pm 1
Então, z = 1 ou z = -1 .

Passo 7

Portanto, as únicas soluções que satisfazem z^2 = 1 no conjunto dos números complexos são z = 1 e z = -1 .

Resposta

As raízes quadradas de 1 no conjunto dos números complexos são z = 1 e z = -1 .

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