Resolva no conjunto dos números complexos a equação:
x^6+7 x^3-8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver no conjunto C a equação
x^6 + 7x^3 - 8 = 0
O conteúdo envolvido é solução de polinômio de grau elevado, que podemos simplificar com a substituição y = x^3, reduzindo a ordem para uma equação quadrática em y. Em seguida, usaremos o Teorema de De Moivre para extrair as raízes cúbicas.

Passo 2

Fazendo y = x^3, a equação torna-se
y^2 + 7y - 8 = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
y^2 + 7y - 8 = 0:
y = -7 pm raiz7^2 - 4cdot1cdot(-8)2 = -7 pm raiz49 + 322 = -7 pm 92
Logo,
y1 = 1, y2 = -8

Passo 4

Para y1 = 1 temos
x^3 = 1
Escrevendo 1 = e^i,2pi k com kin0,1,2, as raízes são
x = e^i,2pi k3, k=0,1,2,
isto é,
x = 1, x = e^i,2pi3, x = e^i,4pi3

Passo 5

Para y2 = -8 temos
x^3 = -8
Escrevemos -8 = 8,e^i(pi + 2pi n) e aplicamos as raízes cúbicas:
x = 2,e^i,pi + 2pi n3, n=0,1,2
Para cada n obtemos
x = 2,e^i,pi3 = 1 + iraiz3, x = 2,e^i,pi = -2, x = 2,e^i,5pi3 = 1 - iraiz3

Resposta

As seis raízes da equação x^6 + 7x^3 - 8 = 0 em C são:
1, e^i,2pi3, e^i,4pi3, 1 + iraiz3, -2, 1 - iraiz3

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