Determine a área do quadrilátero formado pelas raízes da equação .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um quadrilátero formado pelas raízes da equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra para achar as raízes dessa equação e depois geometria para calcular a área do quadrilátero formado por esses pontos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação . Essa é uma equação polinomial de quarto grau, mas podemos simplificar fazendo uma substituição. Vamos deixar , então a equação fica .
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :
Voltando para , sabemos que , então:
Assim, as raízes da equação são e .
Passo 4
Agora, vamos representar essas raízes no plano complexo. Cada raiz pode ser vista como um ponto com coordenadas reais e imaginárias:
Esses quatro pontos formam um quadrilátero no plano.
Passo 5
Para encontrar a área desse quadrilátero, podemos usar a fórmula do polígono de Shoelace (também conhecida como fórmula de Gauss). Primeiro, precisamos listar as coordenadas dos vértices em ordem, por exemplo:
A fórmula do Shoelace é:
Onde xn+1 = x1 e yn+1 = y1 . Aplicando as coordenadas: