Determine a área do quadrilátero formado pelas raízes da equação x^4-x^2-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um quadrilátero formado pelas raízes da equação x^4 - x^2 - 2 = 0 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra para achar as raízes dessa equação e depois geometria para calcular a área do quadrilátero formado por esses pontos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação x^4 - x^2 - 2 = 0 . Essa é uma equação polinomial de quarto grau, mas podemos simplificar fazendo uma substituição. Vamos deixar y = x^2 , então a equação fica y^2 - y - 2 = 0 .

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática y^2 - y - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, temos duas soluções para y :
y1 = 2 e y2 = -1
Voltando para x , sabemos que y = x^2 , então:
x^2 = 2 implies x = raiz2 ou x = -raiz2
x^2 = -1 implies x = i ou x = -i
Assim, as raízes da equação são raiz2, -raiz2, i e -i .

Passo 4

Agora, vamos representar essas raízes no plano complexo. Cada raiz pode ser vista como um ponto com coordenadas reais e imaginárias:
raiz2 (raiz2, 0)
-raiz2 (-raiz2, 0)
i (0, 1)
-i (0, -1)
Esses quatro pontos formam um quadrilátero no plano.

Passo 5

Para encontrar a área desse quadrilátero, podemos usar a fórmula do polígono de Shoelace (também conhecida como fórmula de Gauss). Primeiro, precisamos listar as coordenadas dos vértices em ordem, por exemplo:
(raiz2, 0), (0, 1), (-raiz2, 0), (0, -1)
A fórmula do Shoelace é:
Área = 12 | sumi=1^n (xiyi+1 - xi+1yi) | Á
Onde xn+1 = x1 e yn+1 = y1 . Aplicando as coordenadas:
Área &= 12 | (raiz2 cdot 1 + 0 cdot 0 + (-raiz2) cdot (-1) + 0 cdot 0) & - (0 cdot 0 + 1 cdot (-raiz2) + 0 cdot 0 + (-1) cdot raiz2) | &= 12 | (raiz2 + raiz2) - (-raiz2 - raiz2) | &= 12 | 2raiz2 + 2raiz2 | &= 12 cdot 4raiz2 &= 2raiz2 Á

Resposta

A área do quadrilátero formado pelas raízes da equação é 2raiz2 unidades de área.

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