Calcule a derivada direcional de
f(x, y, z)=cos (x y)+e^y z+ln (z x)
no ponto P(1,0,1 / 2), na direção de
a=i+2 j+2 k

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=cos(xy)+e^{yz}+ln(zx) no ponto P(1,0,1/2) na direção do vetor a=(1,2,2). O conteúdo principal envolve derivada direcional, gradiente e produto escalar.

Passo 2

Lembre-se que a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é dada por D_{u}f§=∇f§·u, onde ∇f=(f_x,f_y,f_z).
Para obter ∇f, calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y,z)=-ysin(xy)+1x, fy(x,y,z)=-xsin(xy)+z e^yz, fz(x,y,z)=y e^yz+1z

Passo 3

Agora avaliamos cada componente em P(1,0,1/2):
fx(1,0,tfrac12)=1, fy(1,0,tfrac12)=tfrac12, fz(1,0,tfrac12)=2,
logo ∇f§=(1,1/2,2).

Passo 4

Para ter a direção correta, normalizamos a:
|a|=raiz1^2+2^2+2^2=3, u=a|a|=(tfrac13,tfrac23,tfrac23)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar:
Dnuf(P)=∇f(P)cdotnu=1cdottfrac13+tfrac12cdottfrac23+2cdottfrac23=2

Resposta

2

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