Calcule a constante b para que a reta y+9 x+b=0 seja tangente à curva y=x^-1

Passo 1

O enunciado pede para achar a constante b de modo que a reta
y + 9x + b = 0
seja tangente à curva
y = x^-1
O conteúdo aqui é interseção entre reta e curva e o fato de que, em tangência, a equação que descreve os pontos de interseção deve ter uma raiz dupla (discriminante zero).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a reta em forma explícita y = mx + c. Da equação
y + 9x + b = 0
temos
y = -9x - b

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
x^-1 = -9x - b
Multiplicando ambos os lados por x (supondo xneq0), fica
1 = -9x^2 - b,x
ou seja
9x^2 + b,x + 1 = 0
Como queremos tangência, essa equação quadrática em x deve ter solução dupla.

Passo 4

O discriminante dessa quadrática é
De<a = b^2 - 4cdot 9cdot 1 = b^2 - 36
Impondo De<a = 0 para ter raiz dupla, obtemos
b^2 - 36 = 0 Longrightarrow b^2 = 36 Longrightarrow b = pm 6

Resposta

b = 6 ou b = -6

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