Sejam e matrizes e , respectivamente.
(a) Mostre que a -ésima coluna do produto é igual ao produto , em que é a -ésima coluna de , ou seja, se , então
(b) Mostre que a -ésima linha do produto é igual ao produto , em que é a -ésima linha de , ou seja, se , então
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes A de tamanho mtimes p e B de tamanho ptimes n. Queremos mostrar duas propriedades do produto AB:
A j-ésima coluna de AB coincide com A vezes a j-ésima coluna de B.
A i-ésima linha de AB coincide com a i-ésima linha de A vezes B.
Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes em termos de somas de produtos de elementos.
Passo 2
Se , então seus elementos são
Considere a coluna de . Ela é o vetor coluna cujas componentes são . Mas, para cada ,
é exatamente a definição da -ésima componente do produto da matriz pelo vetor coluna
Logo,
Passo 3
Agora considere a linha C^(i) de C. Ela é o vetor linha l(ci1,ci2,dots,ci nr). Para cada coluna j, temos
ci j ;=;sumk=1^pai k,bk j,
que coincide com a definição da j-ésima entrada do produto do vetor linha